A C. 911. feladat (2007. október)

C. 911. Melyek azok az n pozitív egész számok, amelyek esetén n³+1 és n²-1 is osztható 101-gyel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: n³+1=(n+1)(n²-n+1), és n²-1=(n+1)(n-1). Mivel 101 prím, ezért két lehetőség van:

I. 101|n+1

II. 101|n²-n+1 és 101|n-1.

Az I. esetben n=101k-1, ahol k tetszőleges pozitív egész.

A II. esetben 101|(n²-n+1)+(n-1)=n². Mivel 101 prím, ezért ekkor 101|n. De 101|n-1 is teljesül, ami nem lehetséges. Ekkor tehát nincs megoldás.

Statisztika:

428 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	368 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai