Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 927. feladat (2008. január)

C. 927. Adott egy derékszögű háromszög. Átfogóját c-vel jelölve területe $t=\frac{c^2}{8}$ . Adjuk meg a háromszög szögeinek pontos értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az átfogóhoz tartozó magasságot m. A háromszög területét kétféleképpen felírva: $t=\frac{c^2}{8}=\frac{cm}{2}$ , amiből c=4m.

Az m magasság a c oldalt így egy x és egy 4m-x hosszú szakaszra osztja. A magasságtételt felírva: m²=x(4m-x), ahonan x²-4mx+m²=0. Ezt x-re megoldva kapjuk, hogy

$x_{1,2}=\frac{4m\pm\sqrt{16m^2-4m^2}}{2}=(2\pm\sqrt3)m.$

Így például, ha a $(2+\sqrt3)m$ hosszú rész és a hozzá csatlakozó befogó által bezárt szöget $\alpha$ jelöli, akkor $\tg\alpha=\frac{1}{2+\sqrt3}$ . A számológép azt adja ki, hogy ekkor $\alpha$ =15^o.

Valóban, az addíciós tételek szerint $\tg15^{\circ}=\frac{\sin30^{\circ}}{1+\cos30^{\circ}}=\frac{1/2}{1+\sqrt3/2}=\frac{1}{2+\sqrt3}$ .

Statisztika:

292 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 168 versenyző.

4 pontot kapott: 101 versenyző.

3 pontot kapott: 6 versenyző.

2 pontot kapott: 5 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 5 dolgozat.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

292 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	168 versenyző.
4 pontot kapott:	101 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.