Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 928. feladat (2008. január)

C. 928. Felírjuk az egész számokat 1-től egy 50-nel osztható n számig, majd elhagyjuk közülük az 50-nel oszthatókat. Mutassuk meg, hogy a megmaradt számok összege négyzetszám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megmaradt sorozat így néz ki:

1, 2, 3, ..., 47, 48, 49,

1+50, 2+50, 3+50, ..., 47+50, 48+50, 48+50, 49+50,

1+100, 2+100, 3+100, ..., 47+100, 48+100, 48+100, 49+100,...

1+2+\ldots+49=\frac{50\cdot49}{2}=25\cdot49. Az 50 kimarad, a következő 49 szám mindegyike 50-nel nagyobb, mint az első csoportban levő számok, az utánuk következő 49 szám már 100-zal nagyobb, stb. Ha eredetileg n-ig írtuk fel a számokat, akkor n/50 darab 49 számot tartalmazó csoport van. Legyen k=n/50-1. A fentiek alapján a számok összege, felhasználva a számtani sorozat összegképletét:

49(25+75+\ldots+(25+k\cdot50))=49\cdot(25\cdot(1+3+\ldots+(1+2k))=

=49\cdot25\cdot\left(\frac{(2+2k)(k+1)}{2}\right)=(7\cdot5\cdot(k+1))^2.

Statisztika:

256 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:202 versenyző.
4 pontot kapott:22 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:11 dolgozat.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai