A C. 929. feladat (2008. január)

C. 929. Egy négyzet alapú csonkagúla alapéle és minden oldaléle 4. Fedőlapjának éle 2. Legfeljebb mekkora távolságra lehet egymástól a csonkagúla két csúcspontja?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tudjuk, hogy c=d=4, $a=2\sqrt2$ és $b=4\sqrt2$ .

Számítsuk ki t-t. Az m talppontja és A által meghatározott szakaszt jelölje x. Tudjuk, hogy $x=\frac{4\sqrt2-2\sqrt2}{2}=\sqrt2$ . A Pitagorasz-tétel szerint m²=4²-x²=16-2=14. Ismét a Pitagorasz-tételt használva $t^2=m^2+(b-x)^2=14+(3\sqrt2)^2=32$ , tehát $t=\sqrt{32}$ .

Az oldallapok átlóinak hoszát hasonlóan tudjuk kiszámolni. Az átlót w-vel jelölve: $w^2=\left(4^2-\left(\frac{4-2}{2}\right)^2\right)+\left(4-\frac{4-2}{2}\right)^2=24$ , tehát az oldallapok átlójának hossza $\sqrt{24}<\sqrt{32}$ .

A fedőlap átlója $2\sqrt2<\sqrt{32}$ , az alaplapé $4\sqrt2=\sqrt{32}$ . A többi él pedig 2, illetve 4 hosszú, ami szintén kevesebb, mint $\sqrt{32}$ .

Tehát legfeljebb $\sqrt{32}$ távolságra lehet egymástól a csonkagúla két csúcspontja.

Megjegyzés: Berajzolható egy olyan háromszög, melynek egyik oldala a testáló, másik oldala a lapátló, harmadik oldala pedig a fedőlap éle; és ebben a háromszögben a testátlóval szemben tompaszög van. Ebből is következik, hogy a testátló hosszabb, mint a lapátló.

Statisztika:

264 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 108 versenyző.

4 pontot kapott: 111 versenyző.

3 pontot kapott: 23 versenyző.

2 pontot kapott: 9 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 6 dolgozat.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

264 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	108 versenyző.
4 pontot kapott:	111 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?