A C. 931. feladat (2008. február)

C. 931. Adjuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyekből a szám jegyeinek összegét kivonva 2007-et kapunk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen egy n jegyű szám $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1}$ , ahol nyilván a_n>0. Ekkor a különbség:

$(10^{n-1}-1)\cdot a_n+(10^{n-2}-1)\cdot a_{n-1}+\ldots+(10^{1-1}-1)\cdot a_1,$

ahol az első tag n $\geq$ 5 esetén legalább (10⁴-1)^.1=9999>2007. Tehát a szám legfeljebb négyjegyű.

Mivel a különbség 2007, a szám legalább négyjegyű.

A fentiekből következik, hogy a szám pontosan négyjegyű.

A négyjegyű számot $\overline{abcd}$ -vel jelölve, teljesülnie kell, hogy: $\overline{abcd}-a-b-c-d=2007$ , azaz 999a+99b+9c=2007, amiből 111a+11b+c=223.

Csak az a=2 lehet a jó (a $\geq$ 3 esetén a bal oldal legalább 333, a=1 esetén pedig legfeljebb 111+99+9=219). Ekkor 222+11b+c=223, ahonnan 11b+c=1. Ez csak b=0 és c=1 esetén teljesül.

A d értéke nem befolyásol semmit, ezért a keresett számok:

2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.

Statisztika:

310 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 87 versenyző.

4 pontot kapott: 128 versenyző.

3 pontot kapott: 28 versenyző.

2 pontot kapott: 25 versenyző.

1 pontot kapott: 19 versenyző.

0 pontot kapott: 16 versenyző.

Nem versenyszerű: 7 dolgozat.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai

310 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	87 versenyző.
4 pontot kapott:	128 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?