A C. 949. feladat (2008. május)

C. 949. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapjának felezőpontja F, magasságpontja M. Tudjuk, hogy a háromszög súlypontja illeszkedik a beírt körre, és hogy $FM=\sqrt6$ . Mekkorák a háromszög oldalai?

Javasolta: Fülöp Dóra (Marcali, Berzsenyi D. Gimn., 11. évf.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a beírható kör sugarát r, középpontját O, az O-ból a BC oldalra állított merőleges talppontját H, a háromszög szárát a, végül legyen AF=FB=x az ábra szerint.

Tudjuk, hogy FS=FC/3 (mert a súlypont harmadolja a súlyvonalat) és FS=2r, emiatt FC=6r, és így OC=6r-r=5r.

$COH_{\triangle}\approx CBF_{\triangle}$ , hiszen mindkettő derékszögű háromszög, és a C csúcsnál fekvő szögük is megegyezik. Emiatt $\frac{OC}{OH}=\frac{BC}{BF}$ , vagyis $\frac{5r}{r}=\frac ax$ , amiből a=5x.

A CF szakasz hosszát a BCF háromszögben Pitagorasz tétellel kiszámolva: $CF=\sqrt{BC^2-FB^2}=\sqrt{25x^2-x^2}=2\sqrt6x$ .

Az $AFM_{\triangle}\approx CFB_{\triangle}$ , mert mindkettő derékszögű, és FAM $\angle$ és FCB $\angle$ merőleges szárú hegyesszögek, és így egyenlőek. Tehát $\frac{FM}{AF}=\frac{FB}{CF}$ , vagyis $\frac{\sqrt6}{x}=\frac{x}{2\sqrt6x}$ , amiből x=12.

Így a háromszög oldalai: AB=2x=24 és BC=AC=5x=60.

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 71 versenyző.

4 pontot kapott: 5 versenyző.

3 pontot kapott: 6 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

90 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	71 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?