Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 963. feladat (2008. november)

C. 963. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

$\sin^2\, (x+y)-\cos^2\, (x-y)=1.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel sin² $\alpha$ $\leq$ 1 és cos² $\beta$ $\geq$ 0, ezért az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha sin²(x+y)=1 és cos²(x-y)=0.

I. eset: sin (x+y)=1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y= $\pi$ /2+2k $\pi$ , a másodikból x-y= $\pi$ /2+l $\pi$ , ahol k és l egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

$x=\frac{\pi}{2}(2k+l+1),$

$y=\frac{\pi}{2}(2k-l).$

II. eset: sin (x+y)=-1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=- $\pi$ /2+2m $\pi$ , a másodikból x-y= $\pi$ /2+n $\pi$ , ahol m és n egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

$x=\frac{\pi}{2}(2m+n),$

$y=\frac{\pi}{2}(2m-n-1).$

Statisztika:

254 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 87 versenyző.

4 pontot kapott: 38 versenyző.

3 pontot kapott: 46 versenyző.

2 pontot kapott: 30 versenyző.

1 pontot kapott: 28 versenyző.

0 pontot kapott: 16 versenyző.

Nem versenyszerű: 9 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai

254 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	87 versenyző.
4 pontot kapott:	38 versenyző.
3 pontot kapott:	46 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	28 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.