A C. 969. feladat (2008. december)

C. 969. Egy körző szárait kétszer akkora szöggel kell kinyitnunk, ha 6,5 cm sugarú kört akarunk rajzolni, mint ha 3,3 cm sugarú kört rajzolunk. Milyen hosszú a körző szára?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. A körző szárát jelölje x (nyilván x>0), a 3,3 cm sugarú kör esetén a körzőnyílást pedig 2 $\alpha$ . Mindkét esetben a keletkezett egyenlő szárú háromszöget az alap felező merőlegesével két egybevágó derékszögű háromszögre bonthatjuk. Ebből az első esetben azt kapjuk, hogy:

$\sin\alpha=\frac{1,65}{x},$

$\cos\alpha=\frac{\sqrt{x^2-1,65^2}}{x}.$

A második esetben pedig:

$\sin2\alpha=\frac{3,25}{x}.$

Az addíciós-tétel felhasználásával:

$\frac{3,25}{x}=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{1,65}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2-1,65^2}}{x},$

amit rendezve:

$\frac{3,25}{3,3}x=\sqrt{x^2-1,65^2},$

$\frac{3,25^2}{3,3^2}x^2=x^2-1,65^2,$

$x^2=\frac{3,3^2\cdot1,65^2}{3,3^2-3,25^2},$

$x=\sqrt{\frac{3,3^2\cdot1,65^2}{3,3^2-3,25^2}}\approx9,5146.$

A körző szára kb. 9,5146 cm hosszú.

II. megoldás. A körző szárát jelölje a. Az első esetben egy 3,3 cm alapú, $\alpha$ szárszögű háromszöget határoz meg a körző. Erre a háromszögre felírva a koszinusz-tételt:

(1)	3,3²=2a²-2a²cos $\alpha$ =2a²(1-cos $\alpha$ ).

A második esetben a szárszög 2 $\alpha$ , az alap pedig 6,5 cm. Az alapot felező merőleges a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre osztja, amelyekben $\sin\alpha=\frac{3,25}{a}$ . Ebből $\sin^2\alpha=\frac{10,5625}{a^2}$ , $\cos^2\alpha=\frac{a^2-10,5625}{a^2}$ . Ennek gyökét visszahelyettesítve az 1) egyenletbe:

$3,3^2=2a^2\left(1-\frac{\sqrt{a^2-10,5625}}{a}\right)=2a^2-2a\sqrt{a^2-10,5625},$

$2a\sqrt{a^2-10,5625}=2a^2-3,3^2.$

Mivel $\alpha$ <90^o, ezért cos $\alpha$ >0, és így az 1) egyenlet alapján 2a²-3,3²>0, ezért négyzetre emelhetjük az egyenlet mindkét oldalát:

4a²(a²-10,5625)=4a⁴-4^.10,89a²+118,5921,

4a⁴-42,25a²=4a⁴-43,56a²+118,5921,

1,31a²=118,5921,

$a=\sqrt{\frac{118,5921}{1,31}}\approx9,52.$

Erre az értékre a²-10,5625>0.

A körző szára kb. 9,52 cm hosszú.

Statisztika:

266 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 182 versenyző.

4 pontot kapott: 4 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 10 versenyző.

1 pontot kapott: 10 versenyző.

0 pontot kapott: 44 versenyző.

Nem versenyszerű: 15 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai

266 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	182 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	44 versenyző.
Nem versenyszerű:	15 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?