A C. 986. feladat (2009. április)

C. 986. Adjuk meg az összes olyan egész számot, amely lehet egy szabályos sokszög belső szögének fokban kifejezett mérőszáma.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)^.180^o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága $\frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}=\frac{n\cdot180^{\circ}-360^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$ . Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n $\geq$ 3 egész szám esetén lesz a $180-\frac{360}{n}$ is egész. A 360=2³^.3²^.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Az n oldalszám ismeretében a $180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$ képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:

60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.

Statisztika:

203 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 125 versenyző.

4 pontot kapott: 27 versenyző.

3 pontot kapott: 17 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 9 versenyző.

Nem versenyszerű: 11 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai

203 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	125 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?