 |
A G. 681. feladat (2019. október) |
G. 681. Régészeti ásatások során jó állapotban a felszínre került egy színaranyból készült, egyenletes, kis falvastagságú, egyenes henger alakú, felül nyitott, \(\displaystyle 2\) literes edény. A henger belső átmérője és a belső magassága ugyanakkora.
Ha az üres edényt óvatosan egy tál vízbe helyezzük úgy, hogy a szimmetriatengelye mindvégig függőleges legyen, a test akkor kerül egyensúlyi helyzetbe, amikor a külső vízszint az edény belső magasságának \(\displaystyle \frac 58\) részénél helyezkedik el. Határozzuk meg az edény falvastagságát!
(3 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú és \(\displaystyle 2R\) magasságú henger térfogata
\(\displaystyle V=R^2\pi\cdot 2R=2~{\rm dm}^3,\)
ahonnan
\(\displaystyle R=\sqrt[3]{ \frac{1}{\pi}}~{\rm dm}\approx 6{,}8~{\rm cm}.\)
Ha az edény \(\displaystyle d\) falvastagsága sokkal kisebb \(\displaystyle R\)-nél, akkor a kiszorított víz súlya közelítőleg így számítható:
\(\displaystyle G_\text{víz}=\frac{5R}{4}R^2\pi\,\varrho_\text{víz}g,\)
az edény súlya pedig közelítőleg
\(\displaystyle G_\text{edény}=\left(R^2\pi\cdot d+2R\cdot 2R\pi\cdot d\right)\varrho_\text{arany}g.\)
Arkhimédész törvénye szerint \(\displaystyle G_\text{edény}=G_\text{víz}\). Tudjuk továbbá, hogy \(\displaystyle \varrho_\text{arany}\approx 19{,}3\,\varrho_\text{víz}\). Innen következik, hogy
\(\displaystyle d=\frac{R}{4\cdot 19{,}3}\approx 0{,}88~\rm mm.\)
Megjegyzés. Ha nem használjuk ki a feladat szövegében csak utalásként szereplő \(\displaystyle d\ll R\) feltételt, hanem az edény térfogatát is és a kiszorított víz térfogatát is ,,pontosan'' számoljuk, akkor az \(\displaystyle x=d/R\) arányszámra az
\(\displaystyle \left(\frac54+x\right)(1+x)^2 = 19{,}3 \left[ x(1+x)^2+2x(2+x)\right]\)
harmadfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldása (valós gyöke): \(\displaystyle x\approx0{,}0133\), vagyis \(\displaystyle d\approx 0{,}91~\rm mm,\) ami alig tér el a fentebbi közelítő számolás eredményétől.
Statisztika:
46 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Bacsó Dániel, Helyes András, Jeszenői Sára, Kaltenecker Balázs Bence, Kovács Kinga, Lőrinczi Gergő, Malatinszki Hanna, Molnár Kristóf, Rózsa Félix, Sárvári Borka Luca, Schmercz Blanka, Szabó Réka, Szirmai Dénes, Tatai Ottó, Vanya Zsuzsanna, Veszprémi Rebeka Barbara. 2 pontot kapott: Árvai Tímea, Bognár 171 András Károly, Dózsa Levente, Egyházi Hanna, Francois Lilien, Gábriel Tamás, Halmos Balázs Paszkál, Koczkás Árpád, Kohut Márk Balázs, Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Láng Erik, Mezey Dorottya, Papp Marcell Miklós, Richlik Bence, Sallai Anita, Sallai Péter, Szécsi Ákos. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai