 |
A G. 683. feladat (2019. október) |
G. 683. Van két egyforma (piros) ellenállásunk és másik két egyforma (kék) ellenállásunk. Melyik kapcsolásban nagyobb az eredő ellenállás, ha
\(\displaystyle a)\) a két pirosat és a két kéket is sorba, majd ezeket párhuzamosan kapcsoljuk;
\(\displaystyle b)\) egy-egy piros és kék ellenállást sorba, ezeket pedig párhuzamosan kapcsoljuk?
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a piros ellenállás értékét \(\displaystyle x\)-szel, a kékét pedig \(\displaystyle y\)-nal! Az \(\displaystyle a)\) esetben \(\displaystyle 2x\) és \(\displaystyle 2y\) párhuzamos eredőjét kapjuk:
\(\displaystyle R_a=\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)^{-1}=\frac{2xy}{x+y},\)
a \(\displaystyle b)\) esetben pedig két egyforma, \(\displaystyle x+y\) nagyságú ellenállás párhuzamos eredőjét:
\(\displaystyle R_b=\frac{x+y}{2}.\)
Könnyen beláthatjuk, hogy \(\displaystyle R_a\le R_b\), hiszen
\(\displaystyle \frac{R_a}{R_b}=\frac{xy}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2},\)
ami a számtani- és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség miatt 1-nél kisebb, vagy \(\displaystyle x=y\) esetben éppen 1-gyel egyenlő. Ugyanezt így is beláthatjuk:
\(\displaystyle R_b-R_a=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}= \frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)} =\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}\ge 0,\)
hiszen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív értékűek.
Statisztika:
74 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bacsó Dániel, Bana Marcell, Bognár 171 András Károly, Buzási-Temesi Imre, Csordás Kevin, Czirók Tamás, Egyházi Hanna, Fehér Anna, Ferencz Kamilla, Francois Lilien, Halmos Balázs Paszkál, Harkai Gyula, Helyes András, Jeszenői Sára, Juhász Júlia, Kinyó András, Klepáček László, Koczkás Árpád, Kohut Márk Balázs, Kovács Alex, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Kuremszki Bálint, Merza Roland, Molnár Kristóf, Papp Marcell Miklós, Pleva Levente, Richlik Bence, Schmercz Blanka, Schneider Dávid, Sebestyén József Tas, Szabó Réka, Szirmai Dénes, Szőllősi Gergely, Vanya Zsuzsanna, Várkonyi Gáspár, Veszprémi Rebeka Barbara. 3 pontot kapott: Dobre Zsombor, Gábriel Tamás, Király Előd István, Koleszár Benedek, Láng Erik, Malatinszki Hanna, Rózsa Félix, Sándor Dominik, Sárvári Borka Luca, Stein Felix, Szanyi Attila, Szécsi Ákos. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai