 |
A G. 731. feladat (2021. január) |
G. 731. Egy kertvárosi övezetben, ahol 30 km/h a megengedett legnagyobb sebesség, egy autó – kicsit szabálytalanul – 36 km/h sebességgel halad. Megelőzi őt egy másik, ugyanolyan autó 54 km/h sebességgel. Éppen egymás mellett haladnak, amikor 20 méternyire előttük egy gyerek kiszalad az úttestre. A két autó sofőrje egyszerre kezd el ugyanolyan erősen fékezni.
\(\displaystyle a)\) Mekkora ,,megmaradó'' sebességgel halad el a gyerek mellett a gyorsabb autó, ha a lassabb autó éppen megáll a gyerek előtt?
\(\displaystyle b)\) Hogyan változik az eredmény, ha figyelembe vesszük azt is, hogy mindkét sofőr reakcióideje kb. 1 másodperc?
Közli: Csapodi Csaba, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha az autóvezetők reakcióidejét nem vesszük figyelembe (vagyis pontosan akkor kezdenek el fékezni, amikor megpillantják a gyereket), akkor ugyanakkora úton, ugyanakkora fékezőerő lassítja a mozgásukat. Alkalmazhatjuk mindkét (egyforma tömegű) autóra a munkatételt:
\(\displaystyle \frac{1}{2}m\cdot \left(36~\frac{\rm km}{\rm h}\right)^2-W=0,\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}m\cdot \left(54~\frac{\rm km}{\rm h}\right)^2-W=\frac{1}{2}m\cdot v_0^2,\)
ahonnan a gyorsabb autó ,,maradék'' sebessége
\(\displaystyle v_0=\sqrt{54^2-36^2}~\frac{\rm km}{\rm h}=40{,}2~\frac{\rm km}{\rm h}.\)
Látható, hogy ebben a közelítésben (amikor a reakcióidőről nem veszünk tudomást) a \(\displaystyle v_0\) sebesség nem függ az autók és a gyerek kezdeti távolságától.
\(\displaystyle b)\) A lassabb autó sebessége \(\displaystyle v_1=10~\frac{\rm m}{\rm s}\), a gyorsabb autóé \(\displaystyle v_2=15~\frac{\rm m}{\rm s}\). A fékezés megkezdéséig a lassabb autó \(\displaystyle 10\) m utat tesz meg, tehát \(\displaystyle s_1=10\) méter a fékútja, vagyis a lassulása
\(\displaystyle a=\frac{v_1^2}{2s_1}=5~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
A gyorsabb autó ugyanekkora lassulással mozog, de a gyerekig csak \(\displaystyle s_2=5\) m hosszan tud fékezni, így a sebességét csak
\(\displaystyle v_0=\sqrt{v_2^2-2as_2}\approx 13{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 48~\frac{\rm km}{\rm h}\)
értékre tudja csökkenteni.
Megjegyzés. Téves az a naiv vélemény, miszerint a kezdetben 54 km/h-val haladó autó \(\displaystyle 54-36=18\) km/h sebességgel érkezik a gyerekhez. Még meglepőbb az eredmény, ha a reakcióidőt is figyelembe vesszük. A gyorsabb autó később kezd el fékezni, tehát rövidebb úton veszít a mozgási energiájából, emiatt a sebessége alig csökken a fékezés alatt, hiába van neki is ugyanolyan jó fékrendszere, mint a másik autónak.
Statisztika:
46 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Beke Botond, Bencz Benedek, Bruder László, Buzási-Temesi Imre, Cynolter Dorottya, Fehérvári Donát, Jeney Zsolt, Jeszenői Sára, Láng Erik, Marozsi Lenke Sára, Molnár Kristóf, Móricz Benjámin, Patricia Janecsko, Richlik Márton, Szabó Réka, Szanyi Attila, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: Czirók Tamás, Dancsák Dénes, Hegedűs Máté Miklós, Josepovits Gábor, Kohut Márk Balázs, Kornya Gergely Csaba, Kovács Dorina , Országh Júlia, Schneider Dávid. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. januári fizika feladatai