Problem G. 791. (October 2022)
G. 791. A juggling theoretical physicist invents the following stunt. He puts \(\displaystyle n\) perfectly elastic balls on top of each other with very small gaps between them. He drops the ball tower onto a hard surface, where the balls arrive at a speed of \(\displaystyle v\). After a series of momentary collisions, all the balls except the top ball stop, and the top ball bounces up at a speed of \(\displaystyle nv\). Prove (for example using the method of mathematical induction) that this stunt can be performed if the mass of the balls satisfies the following formula:
\(\displaystyle m_k=\frac{2m_0}{k(1+k)}, \)
where \(\displaystyle m_0\) is the mass of the lowermost ball and \(\displaystyle k=1, 2, 3, \dots, (n-1), n\).
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A megadott formula szerint a labdák tömege:
\(\displaystyle m_1=m_0,\quad m_2=\frac13 m_0,\quad \ldots\)
Tekintsük először az \(\displaystyle n=2\) esetet. Az alsó labda \(\displaystyle v_0\) sebességgel pattan fel a talajról, majd ütközik a lefelé \(\displaystyle v_0\) sebességgel mozgó felső labdával. Ha ezután az alsó labda megáll, a felső pedig \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel kezd el mozogni felfelé, akkor a tökéletesen rugalmas ütközés lendület- és energiamegmaradási törvénye szerint
\(\displaystyle -m_2 v_0+m_1v_0=m_2\cdot(2v_0),\)
illetve
\(\displaystyle \frac12 m_2v_0^2+\frac12 m_1v_0^2=\frac12 m_2(2v_0)^2.\)
Mindkét feltétel teljesül, ha
\(\displaystyle \frac{m_2}{m_1}=\frac13,\)
ami valóban fennáll, tehát \(\displaystyle n=2\)-re a mutatvány sikeres.
Tételezzük fel, hogy \(\displaystyle n-1\) labdával a mutatvány a leírt módon bemutatható, és vizsgáljuk meg, milyen tömegarány esetén lesz a mutatvány sikeres \(\displaystyle n\) labdával is. Ismét a megmaradási törvényeket írjuk fel:
\(\displaystyle -m_nv_0+m_{n-1}\cdot(n-1)v_0=m_n\cdot (nv_0),\)
valamint
\(\displaystyle \frac12 m_nv_0^2+\frac12 m_{n-1}(n-1)^2v_0^2=\frac12 m_n(nv_0)^2.\)
Mindkét feltétel teljesül, ha
\(\displaystyle m_n=\frac{n-1}{n+1}m_{n-1},\)
ami valóban fennáll, hiszen a megadott formula szerint
\(\displaystyle m_n= \frac{2m_0}{n(n+1)}\qquad\text{és}\qquad m_{n-1}= \frac{2m_0}{(n-1)n}.\)
Ezzel beláttuk, hogy a mutatvány – elvben – akárhány labdával sikeres lehet.
Megjegyzés. Túlságosan sok labda nyilván nem helyezhető el ,,pontosan'' egymás tetejére, így ha \(\displaystyle n\gg2\), a mutatvány a labdák oldalirányú szétrepülése miatt még a legügyesebb elméleti fizikusnak sem fog sikerülni.
Statistics:
11 students sent a solution. 4 points: Antal Áron, Bencze Mátyás, Nagy 639 Csenge, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Zhang Wenshuo Steve, Žigo Boglárka. 3 points: Kovács Jakab. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, October 2022