Problem G. 803. (January 2023)

G. 803. The speed of an object travelling in a straight line with constant deceleration decreases to half of its initial value when it reaches the end of a straight path. What percentage of its initial speed is lost when it reaches the midpoint of the path?

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megadott pályaszakaszon a test sebessége \(\displaystyle v\)-ről \(\displaystyle (v/2)\)-re csökken, mondjuk \(\displaystyle t/2\) idő alatt. Ezen a szakaszon, melynek hossza legyen \(\displaystyle s\), a test átlagsebessége \(\displaystyle 3v/4\). Képzeljük el, hogy a test egészen a megállásáig változatlan ütemben lassul. Ehhez még egyszer \(\displaystyle t/2\) időre van szüksége, sebessége közben \(\displaystyle (v/2)\)-ről 0-ra csökken, vagyis a második szakaszon az átlagsebessége \(\displaystyle v/4\). Harmadakkora átlagsebesség mellett és ugyanakkora idő alatt a test \(\displaystyle s/3\) utat tesz meg, vagyis \(\displaystyle v\)-ről indulva a teljes megállásig az útja \(\displaystyle 4s/3\).

A példa lényegében a test sebességére kérdez az első pályaszakasz felezőpontjában, amikor a test által megtett út \(\displaystyle s/2\). Fordítsuk meg a test mozgását. Induljon nyugalomból, és gyorsuljon fel \(\displaystyle t\) idő alatt \(\displaystyle v\) sebességre, miközben megtesz \(\displaystyle 4s/3\) utat. Fordított irányban a kérdéses pont a nyugalmi helyzettől \(\displaystyle x=\tfrac{4s}{3}-\tfrac{s}{2}=\tfrac{5s}{6}\) távolságra van. Mivel a sebesség egyenesen arányos az idővel, így ha a kérdéses pontban a pillanatnyi sebesség \(\displaystyle kv\), akkor az indulástól számított időt is ugyanazzal az 1-nél kisebb \(\displaystyle k\) szorzófaktorral kell figyelembe vennünk, vagyis a \(\displaystyle kv\) sebességhez tartozó idő \(\displaystyle kt\). Ezekkel a mennyiségekkel a fenti \(\displaystyle x=\tfrac{5s}{6}\) távolságot így fejezhetjük ki: \(\displaystyle x=\tfrac{k^2vt}{2}=\tfrac{5s}{6}\).

Az utolsó képletben szereplő \(\displaystyle vt\) szorzatot a megoldás elején leírt \(\displaystyle 3v/4\) átlagsebességből és a hozzá tartozó \(\displaystyle t/2\) időből is megkaphatjuk: \(\displaystyle \tfrac{3}{4}v\cdot\tfrac{t}{2}=s\), amiből \(\displaystyle vt=\tfrac{8s}{3}\). Ha ezt beírjuk \(\displaystyle x\) kifejezésébe, akkor megkaphatjuk \(\displaystyle k\) értékét:

\(\displaystyle x=\frac{k^2}{2}\cdot\frac{8s}{3}=\frac{5s}{6},\)

amiből \(\displaystyle k^2=5/8\). Tehát a kérdéses pontban a test sebessége

\(\displaystyle kv=\sqrt{5/8}\cdot v\approx0,79\,v,\)

vagyis az első pályaszakasz felezőpontjáig a test a sebességének 21%-át vesztette el.

Megjegyzés. Megoldhatjuk a feladatot ismert képletek nyers erővel történő alkalmazásával is:

\(\displaystyle \frac{v_0^2}{4}-v_0^2=2as,\)

\(\displaystyle v^2-v_0^2=2a\frac{s}{2}.\)

A két egyenletet elosztva egymással \(\displaystyle v^2=(5/8)v_0^2\) adódik, amiből \(\displaystyle v=\sqrt{5/8}\cdot v_0\approx0,79\,v_0\), megegyező módon a kizárólag átlagsebességekre alapozott fenti megoldással.

Statistics:

41 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Bencze Mátyás, Biró Kata, Bohner Emese, Csapó András, Egyházi Godó, Földi Albert, Jávor Botond, Kenyeres Sándor , Kiss 668 Benedek, Licsik Zsófia, Medgyesi Júlia, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Tajta Sára.
3 points:	Hornok Máté, Szatmári Emese, Tóth Hanga Katalin.
2 points:	2 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2023