A G. 803. feladat (2023. január)

G. 803. Egyenes mentén állandó lassulással haladó test egy pályaszakasz végére érve elveszíti kezdősebességének a felét. Kezdősebességének hány százalékát vesztette el a pályaszakasz felezőpontjáig?

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott pályaszakaszon a test sebessége \(\displaystyle v\)-ről \(\displaystyle (v/2)\)-re csökken, mondjuk \(\displaystyle t/2\) idő alatt. Ezen a szakaszon, melynek hossza legyen \(\displaystyle s\), a test átlagsebessége \(\displaystyle 3v/4\). Képzeljük el, hogy a test egészen a megállásáig változatlan ütemben lassul. Ehhez még egyszer \(\displaystyle t/2\) időre van szüksége, sebessége közben \(\displaystyle (v/2)\)-ről 0-ra csökken, vagyis a második szakaszon az átlagsebessége \(\displaystyle v/4\). Harmadakkora átlagsebesség mellett és ugyanakkora idő alatt a test \(\displaystyle s/3\) utat tesz meg, vagyis \(\displaystyle v\)-ről indulva a teljes megállásig az útja \(\displaystyle 4s/3\).

A példa lényegében a test sebességére kérdez az első pályaszakasz felezőpontjában, amikor a test által megtett út \(\displaystyle s/2\). Fordítsuk meg a test mozgását. Induljon nyugalomból, és gyorsuljon fel \(\displaystyle t\) idő alatt \(\displaystyle v\) sebességre, miközben megtesz \(\displaystyle 4s/3\) utat. Fordított irányban a kérdéses pont a nyugalmi helyzettől \(\displaystyle x=\tfrac{4s}{3}-\tfrac{s}{2}=\tfrac{5s}{6}\) távolságra van. Mivel a sebesség egyenesen arányos az idővel, így ha a kérdéses pontban a pillanatnyi sebesség \(\displaystyle kv\), akkor az indulástól számított időt is ugyanazzal az 1-nél kisebb \(\displaystyle k\) szorzófaktorral kell figyelembe vennünk, vagyis a \(\displaystyle kv\) sebességhez tartozó idő \(\displaystyle kt\). Ezekkel a mennyiségekkel a fenti \(\displaystyle x=\tfrac{5s}{6}\) távolságot így fejezhetjük ki: \(\displaystyle x=\tfrac{k^2vt}{2}=\tfrac{5s}{6}\).

Az utolsó képletben szereplő \(\displaystyle vt\) szorzatot a megoldás elején leírt \(\displaystyle 3v/4\) átlagsebességből és a hozzá tartozó \(\displaystyle t/2\) időből is megkaphatjuk: \(\displaystyle \tfrac{3}{4}v\cdot\tfrac{t}{2}=s\), amiből \(\displaystyle vt=\tfrac{8s}{3}\). Ha ezt beírjuk \(\displaystyle x\) kifejezésébe, akkor megkaphatjuk \(\displaystyle k\) értékét:

\(\displaystyle x=\frac{k^2}{2}\cdot\frac{8s}{3}=\frac{5s}{6},\)

amiből \(\displaystyle k^2=5/8\). Tehát a kérdéses pontban a test sebessége

\(\displaystyle kv=\sqrt{5/8}\cdot v\approx0,79\,v,\)

vagyis az első pályaszakasz felezőpontjáig a test a sebességének 21%-át vesztette el.

Megjegyzés. Megoldhatjuk a feladatot ismert képletek nyers erővel történő alkalmazásával is:

\(\displaystyle \frac{v_0^2}{4}-v_0^2=2as,\)

\(\displaystyle v^2-v_0^2=2a\frac{s}{2}.\)

A két egyenletet elosztva egymással \(\displaystyle v^2=(5/8)v_0^2\) adódik, amiből \(\displaystyle v=\sqrt{5/8}\cdot v_0\approx0,79\,v_0\), megegyező módon a kizárólag átlagsebességekre alapozott fenti megoldással.

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Bencze Mátyás, Biró Kata, Bohner Emese, Csapó András, Egyházi Godó, Földi Albert, Jávor Botond, Kenyeres Sándor , Kiss 668 Benedek, Licsik Zsófia, Medgyesi Júlia, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Tajta Sára.
3 pontot kapott:	Hornok Máté, Szatmári Emese, Tóth Hanga Katalin.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári fizika feladatai