A G. 803. feladat (2023. január)

G. 803. Egyenes mentén állandó lassulással haladó test egy pályaszakasz végére érve elveszíti kezdősebességének a felét. Kezdősebességének hány százalékát vesztette el a pályaszakasz felezőpontjáig?

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott pályaszakaszon a test sebessége $\displaystyle v$-ről $\displaystyle (v/2)$-re csökken, mondjuk $\displaystyle t/2$ idő alatt. Ezen a szakaszon, melynek hossza legyen $\displaystyle s$, a test átlagsebessége $\displaystyle 3v/4$. Képzeljük el, hogy a test egészen a megállásáig változatlan ütemben lassul. Ehhez még egyszer $\displaystyle t/2$ időre van szüksége, sebessége közben $\displaystyle (v/2)$-ről 0-ra csökken, vagyis a második szakaszon az átlagsebessége $\displaystyle v/4$. Harmadakkora átlagsebesség mellett és ugyanakkora idő alatt a test $\displaystyle s/3$ utat tesz meg, vagyis $\displaystyle v$-ről indulva a teljes megállásig az útja $\displaystyle 4s/3$.

A példa lényegében a test sebességére kérdez az első pályaszakasz felezőpontjában, amikor a test által megtett út $\displaystyle s/2$. Fordítsuk meg a test mozgását. Induljon nyugalomból, és gyorsuljon fel $\displaystyle t$ idő alatt $\displaystyle v$ sebességre, miközben megtesz $\displaystyle 4s/3$ utat. Fordított irányban a kérdéses pont a nyugalmi helyzettől $\displaystyle x=\tfrac{4s}{3}-\tfrac{s}{2}=\tfrac{5s}{6}$ távolságra van. Mivel a sebesség egyenesen arányos az idővel, így ha a kérdéses pontban a pillanatnyi sebesség $\displaystyle kv$, akkor az indulástól számított időt is ugyanazzal az 1-nél kisebb $\displaystyle k$ szorzófaktorral kell figyelembe vennünk, vagyis a $\displaystyle kv$ sebességhez tartozó idő $\displaystyle kt$. Ezekkel a mennyiségekkel a fenti $\displaystyle x=\tfrac{5s}{6}$ távolságot így fejezhetjük ki: $\displaystyle x=\tfrac{k^2vt}{2}=\tfrac{5s}{6}$.

Az utolsó képletben szereplő $\displaystyle vt$ szorzatot a megoldás elején leírt $\displaystyle 3v/4$ átlagsebességből és a hozzá tartozó $\displaystyle t/2$ időből is megkaphatjuk: $\displaystyle \tfrac{3}{4}v\cdot\tfrac{t}{2}=s$, amiből $\displaystyle vt=\tfrac{8s}{3}$. Ha ezt beírjuk $\displaystyle x$ kifejezésébe, akkor megkaphatjuk $\displaystyle k$ értékét:

$\displaystyle x=\frac{k^2}{2}\cdot\frac{8s}{3}=\frac{5s}{6},$

amiből $\displaystyle k^2=5/8$. Tehát a kérdéses pontban a test sebessége

$\displaystyle kv=\sqrt{5/8}\cdot v\approx0,79\,v,$

vagyis az első pályaszakasz felezőpontjáig a test a sebességének 21%-át vesztette el.

Megjegyzés. Megoldhatjuk a feladatot ismert képletek nyers erővel történő alkalmazásával is:

$\displaystyle \frac{v_0^2}{4}-v_0^2=2as,$

$\displaystyle v^2-v_0^2=2a\frac{s}{2}.$

A két egyenletet elosztva egymással $\displaystyle v^2=(5/8)v_0^2$ adódik, amiből $\displaystyle v=\sqrt{5/8}\cdot v_0\approx0,79\,v_0$, megegyező módon a kizárólag átlagsebességekre alapozott fenti megoldással.

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Bencze Mátyás, Biró Kata, Bohner Emese, Csapó András, Egyházi Godó, Földi Albert, Jávor Botond, Kenyeres Sándor , Kiss 668 Benedek, Licsik Zsófia, Medgyesi Júlia, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Tajta Sára.
3 pontot kapott:	Hornok Máté, Szatmári Emese, Tóth Hanga Katalin.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári fizika feladatai