Problem G. 804. (January 2023)
G. 804. A wooden block of density \(\displaystyle 0.6 \mathrm{kg/dm}^3\) is floating in a large pool. It has a height of 40 cm, the length of its base is 80 cm and the width of its base is 30 cm. The block is fixed to the bottom of the pool by a spring, having an unstretched length of 50 cm, as shown in the figure.
\(\displaystyle a)\) What is the height of that part of the block, which is not under the water if the depth of the water is 90 cm and the spring constant of the spring is 1440 N/m?
\(\displaystyle b)\) At least how much work is required to raise the block completely above the surface of the water if the spring does not break?
(4 pont)
Deadline expired on February 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A példa szövegében nagy méretű medence szerepel, ami azt jelenti, hogy a hasáb bármilyen mértékű vízbe merülése nem befolyásolja a vízszintet.
\(\displaystyle a)\) Mivel a fahasáb sűrűsége 0,6 kg/\(\displaystyle \rm{dm}^3\), így a rugó hatása nélkül a hasáb 40 cm-es magasságának 60%-a, vagyis 24 cm merülne a vízbe. Ez azt jelenti, hogy ekkor \(\displaystyle 90-24=66\) cm-rel lenne a hasáb alja a medence aljától. A rugó nyújtatlan hossza azonban csak 50 cm, ezért a megnyúlt rugó lejjebb húzza a fahasábot.
Jelöljük a fahasábból kilátszó rész (cm egységekben mért) magasságát \(\displaystyle x\)-szel. Így a bemerült rész magassága \(\displaystyle (40-x)\) cm, tehát a hasáb aljának távolsága a medence aljától \(\displaystyle 90-(40-x)=(50+x)\) cm, vagyis a rugó megnyúlása éppen \(\displaystyle x\) cm. A rugóállandót N/m helyett N/cm egységben is megadhatjuk: 14,4 N/cm. Ezzel megkaptuk a rugóerő nagyságát: (\(\displaystyle 14,4\) N/cm) \(\displaystyle \cdot \,x\).
A bemerült rész magassága a rugó húzóereje nélküli 24 cm-ről a rugó hatására \(\displaystyle (40-x)\) cm-re növekedett, vagyis a változás \(\displaystyle (16-x)\) cm. Ha ezt a kifejezést elosztjuk 10-zel, akkor cm helyett dm egységre váltunk. Mivel a fahasáb alapélei 8 dm, illetve 3 dm hosszúak, így minden egyes többlet dm merülés 24 liter súlyának, vagyis durván 240 N többlet felhajtóerőnek felel meg. Ez a többlet felhajtóerő tart egyensúlyt a rugóerővel:
\(\displaystyle \frac{16-x}{10}\cdot 240\,\rm{N}=(14,4\, \rm{N/cm})\, \cdot \,x\,,\)
amiből \(\displaystyle x=\) 10 cm.
\(\displaystyle b)\) Ha a fahasábot teljesen a víz felszíne fölé emeljük, akkor 30 cm-t (0,3 m-t) kell rajta emelni. Az emelés kezdetén az emelőerő nulla, a végén pedig a fahasáb 576 N-os súlya \(\displaystyle (0{,}6\,\cdot\,4\,\cdot\,24\,\cdot\,10=576\,\rm{N})\), valamint az éppen ugyanekkora rugóerő \(\displaystyle (14{,}4\,\rm{N/cm}\,\cdot \,40\,\rm{cm}=576\,\rm{N})\) összege, ami 1152 N. Az átlagos emelőerő így 576 N, tehát a kérdéses munkavégzés \(\displaystyle 576\,\rm{N}\,\cdot\,0,3\,\rm{m}=172,8\,\rm{J}\approx170\,\rm{J}\).
Megjegyzés. Energetikai megfontolásokkal is megoldhatjuk a példát. A kezdeti rugóenergia: \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\,\cdot\,1440\,\rm{N/m}\,\cdot \,(0{,}1\,\rm{m})^2=7{,}2\,\rm{J}\), a kiemelés végén pedig \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\,\cdot\,1440\,\rm{N/m}\,\cdot \,(0{,}4\,\rm{m})^2=115{,}2\,\rm{J}\), vagyis a növekmény 108 J. A fahasáb helyzeti energia növekménye: \(\displaystyle mgh=576\,\rm{N}\,\cdot\,0{,}3\,\rm{m}=172{,}8\,\rm{J}\), amiből még le kell vonnunk a bemerült rész helyére áramló víz helyzeti energia csökkenését: \(\displaystyle -m_\textrm{víz}gh/2=-3\,\cdot\,24\,\cdot\,10\,\cdot\,0{,}15=-108\,\rm{J}\), ami az adatok rafinált megadása miatt éppen a rugón végzett munkát ejti ki. Tehát pont annyi munkával emelhetjük ki a vízből a fahasábot, mint amennyi ahhoz kell, hogy levegőn (rugó nélkül) 30 cm magasra emeljük a hasábot.
Statistics:
26 students sent a solution. 4 points: Antal Áron, Bencze Mátyás, Csapó András, Hornok Máté, Jávor Botond, Kiss 668 Benedek, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Szatmári Emese, Tóth Hanga Katalin, Varga Zétény. 3 points: Tajta Sára, Zámbó Luca. 2 points: 6 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2023