A G. 824. feladat (2023. szeptember)

G. 824. Egy $\displaystyle \ell$ hosszúságú kígyó a hosszának feléig besiklott egy keskeny, egyenes csőbe. A kígyó kint lévő vége tetszőlegesen kanyaroghat a vízszintes talajon. Ha a kígyót homogén tömegeloszlású, $\displaystyle \ell$ hosszúságú, hajlékony kötéllel modellezzük, akkor a sík mely pontjaiban lehet a kígyó tömegközéppontja?

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a kígyó teljes tömege $\displaystyle m$, ekkor (a tömegközéppont szempontjából) a csőben lévő része is és a kint kacskaringózó rész is egy-egy $\displaystyle m/2$ tömegű tömegponttal helyettesíthető. Jelöljük a cső egyik végét (amelyiknél a kígyó feje van) $\displaystyle A$-val, a cső felezőpontját $\displaystyle S_1$-gyel, a cső másik végét (ahol a kígyó ,,közepe'' van) $\displaystyle C$-vel, a kígyó farkának helyét pedig $\displaystyle B$-vel (1. ábra).

1. ábra

A kígyó első (egyenes) részének $\displaystyle S_1$ tömegközéppontja $\displaystyle C$-től nyilván $\displaystyle \ell/4$ távol van, a másik rész $\displaystyle S_2$ tömegközéppontjának $\displaystyle C$-től mért távolságát pedig jelöljük $\displaystyle r$-rel. A kígyó alakjának ismerete nélkül $\displaystyle r$ nagyságát nem tudjuk pontosan megadni, de azt állíthatjuk, hogy $\displaystyle r\le \ell/4$. Ez – a továbbiakban fontos – egyenlőtlenség elég szemléletes (hiszen ha a kígyó kiegyenesedne, akkor éppen $\displaystyle r=\ell/4$ teljesülne), de szigorú bizonyítását a Függelék tartalmazza.

Az egyenlőtlenséget felhasználva kétféle megoldás is adható a feltett kérdésre.

I. (geometriai) megoldás. A kígyó tömegközéppontja az $\displaystyle S_1S_2$ szakasz $\displaystyle S$ felezőpontjában található. Jelöljük $\displaystyle CS_1$ felezőpontját (vagyis a cső nyolcadolópontját) $\displaystyle P$-vel (2. ábra).

2. ábra

A $\displaystyle CS_1S_2$ és a $\displaystyle PS_1S$ háromszögek hasonlósága miatt

$\displaystyle SP= \frac{r}2\le\frac{\ell}8.$

Figyelembe véve, hogy a $\displaystyle CS_2$ egyenes iránya tetszőleges lehet, megállapíthatjuk, hogy a kígyó $\displaystyle S$ tömegközéppontja egy $\displaystyle P$ középpontú, $\displaystyle \ell/8$ sugarú körlapon található.

II. (vektoralgebrai) megoldás. Jelöljük a $\displaystyle \overrightarrow{CS_1}$ vektort $\displaystyle \frac14\boldsymbol{\ell}$-lel, a $\displaystyle \overrightarrow{CS_2}$ vektort pedig $\displaystyle \boldsymbol r$-rel. Ekkor $\displaystyle C$-ből a kígyó $\displaystyle S$ tömegközéppontjába mutató vektor

$\displaystyle \boldsymbol s=\frac12\left(\frac14\boldsymbol{\ell}+\boldsymbol r\right)= \frac18\boldsymbol{\ell}+\frac12\boldsymbol r.$

Innen leolvashatjuk, hogy $\displaystyle S$ és $\displaystyle P$ távolosága

$\displaystyle \left|\boldsymbol s- \frac18\boldsymbol{\ell} \right| =\frac12|\boldsymbol r|\le \frac{\ell}8.$

A kígyó $\displaystyle S$ tömegközéppontja tehát egy $\displaystyle P$ középpontú, $\displaystyle \ell/8$ sugarú körlapon (a 3. ábra sárga tartományában) helyezkedhet el.

3. ábra

Függelék. Tekintsük a kígyó hátsó felét a $\displaystyle C$ és $\displaystyle B$ pontok között kanyargó görbe vonalnak, aminek tömegközéppontja $\displaystyle S_2$. Ha a ,,félkígyó'' kiegyenesedne, és a $\displaystyle CS_2$ egyenessel párhuzamos $\displaystyle CB'$ lenne, akkor az $\displaystyle S_2'$ tömegközéppontja $\displaystyle C$-tól $\displaystyle \ell/4$ távolra kerülne.

Hasonlítsuk össze a kanyargós kígyó tetszőleges $\displaystyle P$ pontját ugyanezen pontnak a kiegyenesedett kígyón megtalálható $\displaystyle P'$ megfelelőjével (4. ábra). Nyilván $\displaystyle CP\le CP'$, továbbá $\displaystyle CP''\le CP$ (ahol $\displaystyle P''$ a $\displaystyle P$ pont merőleges vetülete a $\displaystyle CB'$ egyenesen), és így

$\displaystyle CP'\ge CP\ge CP''.$

4. ábra

A görbe félkígyó tömegközéppontját a $\displaystyle CP''$ távolságok határozzák meg. Mivel a fenti egyenlőtlenség minden $\displaystyle P$ pontra érvényes, a tömegközéppontokra is fennáll:

$\displaystyle r=CS_2\le CS_2'=\frac{\ell}4,$

és éppen ezt akartuk bizonyítani.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Blaskovics Ádám, Bohner Emese, Bús László Teodor, Csizmadia Ferenc, Csonka Áron, Derűs Ádám , Dömők Bernadett, Field Márton, Fülöp Magdaléna, Hajdufi Imola, Klenkó Éva Borbála, Méhes Mátyás , Porcsin Gréta, Pulka Gergely Tamás, Szabó András, Tajta Sára, Varga 511 Vivien.
3 pontot kapott:	Gerlei Dániel, Schmidt Marcell, Sipos Dániel Sándor, Táborosi Sára.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi fizika feladatai