A G. 830. feladat (2023. november)

G. 830. Egy vékony falú, 5 cm sugarú hengeres üvegedény fenéklapja kétszer vastagabb, mint a palástja. Legfeljebb milyen magas az edény, ha egy 30 fokos lejtőn a talpára állítva nem borul fel?

(A súrlódás olyan nagy, hogy az edény nem csúszik meg a lejtőn.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az edény akkor nem borul fel, ha a \(\displaystyle T\) tömegközéppontján átmenő függőleges egyenes nem esik az üvegedény talpán kívülre.

A határesetet az ábra mutatja. Mivel \(\displaystyle O\,TP\) félszabályos háromszög (a \(\displaystyle 30^\circ\)-os lejtőnek köszönhetően),

\(\displaystyle OT=\sqrt3\,r,\)

ahol \(\displaystyle r\) a henger sugara.

Legyen a henger magassága \(\displaystyle h\), a palást vastagsága \(\displaystyle d\), a fenéklap vastagsága \(\displaystyle 2d\) és az üveg sűrűsége \(\displaystyle \varrho\). A fenéklap és a palást tömegének aránya:

\(\displaystyle \frac{m_\text{fenéklap}}{m_\text{palást}} = \frac{r^2\pi(2d)\varrho}{2r\pi hd\varrho}=\frac{r}{h}.\)

Ugyanilyen arányban osztja a \(\displaystyle T\) tömegközéppont az \(\displaystyle OS=h/2\) távolságot:

\(\displaystyle \frac{ST}{OT}=\frac{(h/2)-\sqrt3r}{ \sqrt3r}=\frac{r}{h}.\)

Ez \(\displaystyle h\)-ra nézve másodfokú egyenlet, amelynek pozitív megoldása:

\(\displaystyle h=\left(\sqrt3+\sqrt{3+2\sqrt3} \right)\,r \approx 21{,}4\ \textrm{cm}.\)

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Csonka Áron, Fülöp Magdaléna, Kisida Kata, Szabó András, Vértesi Janka, Vincze Anna.
3 pontot kapott:	Antal Áron, Bús László Teodor, Kis Boglárka 08, Szabó Márton, Varga 511 Vivien.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi fizika feladatai