A G. 836. feladat (2023. december)

G. 836. Egy $\displaystyle \ell=0{,}5$ m hosszú, hengeres, egyik végén zárt, a másik végén nyitott üvegcsövet nyílásával lefelé fordítva, függőleges helyzetben a Holt-tenger vizébe merítünk úgy, hogy a cső alsó (nyitott) vége $\displaystyle h=30$ méterrel a vízfelszín alá kerül. A csőben $\displaystyle 32\;{}^\circ\mathrm{C}$-os hőmérsékletű és $\displaystyle 800~\mathrm{Hgmm}$ nyomású – a légkörrel megegyező – levegő volt. A Holt-tenger vizének hőmérséklete $\displaystyle 27\;{}^\circ\mathrm{C}$, sűrűsége a desztillált víz sűrűségének $\displaystyle 1{,}24$-szerese. Milyen magasra emelkedik a víz a csőben?

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tiszta víz esetén a hidrosztatikai nyomás $\displaystyle 10{,}3$ méterenként $\displaystyle 760\,\mathrm{Hgmm}$-rel növekszik, ami $\displaystyle 30\,\mathrm{m}$ mélységben $\displaystyle 2210\,\mathrm{Hgmm}$-t jelent. Mivel a Holt-tenger vize a desztillált vízhez képest $\displaystyle 1{,}24$-szer sűrűbb, így ugyanennyiszer nagyobb a hidrosztatikai nyomás is. Tehát $\displaystyle 30\,\mathrm{m}$-es mélységben a hidrosztatikai nyomás kerekítve $\displaystyle 2745\,\mathrm{Hgmm}$, az abszolút nyomás pedig ennél $\displaystyle 800\,\mathrm{Hgmm}$-rel több, vagyis $\displaystyle 3545\,\mathrm{Hgmm}$, hiszen a felszínen a légköri nyomás $\displaystyle 800\,\mathrm{Hgmm}$.

Ha az üvegcsőben $\displaystyle x$ mm-es magasságig emelkedik a víz, akkor a víz feletti (bezárt) légoszlop nyomása $\displaystyle 1{,}24\,x$ vízmilliméterrel kevesebb, mint a cső alján. Mivel a higany sűrűsége $\displaystyle 13{,}6$-szorosa a vízének, így ez a nyomáscsökkenés a fenti érték $\displaystyle 13{,}6$-ed része, vagyis $\displaystyle 0{,}0912\,x\,\mathrm{Hgmm}$.

Ezek után a bezárt levegőre felírhatjuk az egyesített gáztörvényt:

$\displaystyle \frac{(800\,\mathrm{Hgmm})\,\cdot\,(500\,\mathrm{mm})}{305\,\mathrm {K}}=\frac{(3545\,-0{,}0912\,x)\,\mathrm{Hgmm}\,\cdot\,(500-x)\,\mathrm{mm}}{300\,\mathrm{K}}\,.$

A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása: $\displaystyle x=388$, tehát a víz a csőben $\displaystyle 388\,\mathrm{mm}$ magasra emelkedik.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csonka Áron, Porcsin Gréta, Tajta Sára.
3 pontot kapott:	Görög Csanád Botond, Hrubi kristóf, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Pulka Gergely Tamás, Szabó András, Trauner Dávid, Vértesi Janka, Vincze Anna.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai