A G. 836. feladat (2023. december)

G. 836. Egy \(\displaystyle \ell=0{,}5\) m hosszú, hengeres, egyik végén zárt, a másik végén nyitott üvegcsövet nyílásával lefelé fordítva, függőleges helyzetben a Holt-tenger vizébe merítünk úgy, hogy a cső alsó (nyitott) vége \(\displaystyle h=30\) méterrel a vízfelszín alá kerül. A csőben \(\displaystyle 32\;{}^\circ\mathrm{C}\)-os hőmérsékletű és \(\displaystyle 800~\mathrm{Hgmm}\) nyomású – a légkörrel megegyező – levegő volt. A Holt-tenger vizének hőmérséklete \(\displaystyle 27\;{}^\circ\mathrm{C}\), sűrűsége a desztillált víz sűrűségének \(\displaystyle 1{,}24\)-szerese. Milyen magasra emelkedik a víz a csőben?

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tiszta víz esetén a hidrosztatikai nyomás \(\displaystyle 10{,}3\) méterenként \(\displaystyle 760\,\mathrm{Hgmm}\)-rel növekszik, ami \(\displaystyle 30\,\mathrm{m}\) mélységben \(\displaystyle 2210\,\mathrm{Hgmm}\)-t jelent. Mivel a Holt-tenger vize a desztillált vízhez képest \(\displaystyle 1{,}24\)-szer sűrűbb, így ugyanennyiszer nagyobb a hidrosztatikai nyomás is. Tehát \(\displaystyle 30\,\mathrm{m}\)-es mélységben a hidrosztatikai nyomás kerekítve \(\displaystyle 2745\,\mathrm{Hgmm}\), az abszolút nyomás pedig ennél \(\displaystyle 800\,\mathrm{Hgmm}\)-rel több, vagyis \(\displaystyle 3545\,\mathrm{Hgmm}\), hiszen a felszínen a légköri nyomás \(\displaystyle 800\,\mathrm{Hgmm}\).

Ha az üvegcsőben \(\displaystyle x\) mm-es magasságig emelkedik a víz, akkor a víz feletti (bezárt) légoszlop nyomása \(\displaystyle 1{,}24\,x\) vízmilliméterrel kevesebb, mint a cső alján. Mivel a higany sűrűsége \(\displaystyle 13{,}6\)-szorosa a vízének, így ez a nyomáscsökkenés a fenti érték \(\displaystyle 13{,}6\)-ed része, vagyis \(\displaystyle 0{,}0912\,x\,\mathrm{Hgmm}\).

Ezek után a bezárt levegőre felírhatjuk az egyesített gáztörvényt:

\(\displaystyle \frac{(800\,\mathrm{Hgmm})\,\cdot\,(500\,\mathrm{mm})}{305\,\mathrm {K}}=\frac{(3545\,-0{,}0912\,x)\,\mathrm{Hgmm}\,\cdot\,(500-x)\,\mathrm{mm}}{300\,\mathrm{K}}\,.\)

A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása: \(\displaystyle x=388\), tehát a víz a csőben \(\displaystyle 388\,\mathrm{mm}\) magasra emelkedik.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csonka Áron, Porcsin Gréta, Tajta Sára.
3 pontot kapott:	Görög Csanád Botond, Hrubi kristóf, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Pulka Gergely Tamás, Szabó András, Trauner Dávid, Vértesi Janka, Vincze Anna.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai