A G. 841. feladat (2024. február)

G. 841. Ha \(\displaystyle 20\)-\(\displaystyle 30\) hurkapálcát összegumizunk szorosan, akkor miért vesz föl a köteg közel henger alakot?

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.

Megoldás. Az energiaminimumra való törekvés miatt a gumikarika minél kisebb hosszúságot akar elérni, hiszen így tudja minimalizálni a rugalmas energiát. Adott keresztmetszeti terület esetén a kör alak eredményezi a legkisebb kerületet, ezért veszi fel a köteg (közelítőleg) a henger alakot.

A hurkapálcák szoros illeszkedésű hatszöges formát képeznek, de nem biztos, hogy teljes lesz a rendeződés. A keresztmetszetet vizsgálva minden hurkapálcához tartozik egy köré írható, szabályos hatszög, és ideális esetben ezek a hatszögek hézag nélkül töltik ki a keresztmetszetet. Ha a hatszög oldalélei egységnyiek, akkor a hatszög területe \(\displaystyle \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\), míg a beírható kör (ami maga a hukapálca) területe \(\displaystyle \tfrac{3}{4}\pi\). A kettő aránya: \(\displaystyle \tfrac{\pi}{2\sqrt{3}}=0,907\), vagyis az úgynevezett kitöltési tényező nagyjából 90%.

A fentiek alapján alulról megbecsülhető a köteg sugara. Ha például 25 darab 2 mm átmérőjű hurkapálca alkotja a köteget, akkor a keresztmetszeti körök teljes területe \(\displaystyle 25\pi\,\mathrm{mm^2}\), és ezt az értéket kell \(\displaystyle \tfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)-mal elosztanunk, hogy megkapjuk a hibamentesen illeszkedő köteg keresztmetszetének a területét: \(\displaystyle 50\sqrt{3}\,\mathrm{mm^2}\). A köteg természetesen még ideálisan, vagyis hibamentesen szoros illeszkedés esetén sem pontosan kör keresztmetszetű, de egy körrel jól közelíthető. A számítást elvégezve azt kapjuk, hogy a 25 pálcából álló köteg átmérője legalább \(\displaystyle 10{,}5\,\mathrm{mm}\).

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bohner Emese, Bús László Teodor, He Stefan, Hrubi kristóf, Milovecz Fruzsina Panka, Papp Emese Petra, Pulka Gergely Tamás.
2 pontot kapott:	Csáki Anikó, Görög Csanád Botond, Havas Dániel, Horváth Kristóf Dominik, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Páternoszter Tamás, Sárecz Bence, Sipos Dániel Sándor, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Vincze Anna.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári fizika feladatai