A G. 842. feladat (2024. február)

G. 842. Űrkutatók reményei szerint hamarosan ember által lakott űrbázis épül a Holdon. Képzeljük el, hogy az űrbázis létrehozásának egy éves évfordulóját speciális tűzijátékkal ünneplik meg az űrhajósok. A lövedéket \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben lövik ki, ami 100 m magasan, a pálya tetőpontján robban szét apró részekre, melyek a lövedék tömegközéppontjához képest \(\displaystyle 10~\text{m}/\text{s}\) sebességgel, hosszasan, fényesen világítva repülnek szét. A kilövés helyéhez és idejéhez viszonyítva mikor és hol ér talajt legelőször és legutoljára fényesen világító darabka?

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.

Megoldás. A Holdon a nehézségi gyorsulás \(\displaystyle g=1{,}62\,\mathrm{m/s^2}\) (a földi érték egyhatod része). A \(\displaystyle 45^\circ\)-os kilövési szög miatt a lövedék kezdősebességének vízszintes és függőleges összetevői egyenlőek: \(\displaystyle v_{0x} = v_{0y}\). Ezeket az összetevőket az emelkedési magasságból határozhatjuk meg:

\(\displaystyle v_{0x} = v_{0y}=\sqrt{2gh}=18\,\mathrm{m/s}.\)

Az emelkedés ideje:

\(\displaystyle t_{\mathrm{e}}=\sqrt{\tfrac{2h}{g}}=11{,}1\,\mathrm{s}.\)

A tetőpont eléréséig a lövedék vízszintesen \(\displaystyle x=v_{0x} t_{\mathrm{e}}=200\,\mathrm{m}\) utat tesz meg.

Legelőször az a fényesen világító darabka ér talajt, amelynek a robbanás pillanatát követően a \(\displaystyle v_0=10\,\mathrm{m/s}\) nagyságú többletsebessége függőlegesen lefelé mutat, míg legutoljára az a darabka, melynek ugyanekkora sebességtöbblete függőlegesen felfelé mutat. Érdekes, hogy mindkét esetben ugyanakkora \(\displaystyle v_y\) függőleges sebességösszetevővel érnek talajt, sőt azt is észrevehetjük, hogy ebben a két esetben a talajba történő becsapódási sebességük is ugyanakkora. (Ezt például az energiamegmaradás törvényének az alkalmazásával láthatjuk be.) A becsapódási sebesség függőleges összetevője:

\(\displaystyle v_y=\sqrt{2gh+v_0^2}=20{,}6\,\mathrm{m/s}.\)

Ha a robbanás pillanatában a többletsebesség lefelé mutat, akkor a függőleges átlagsebesség:

\(\displaystyle \overline{v_{y1}}=\frac{v_y+v_0}{2}=15{,}3\,\mathrm{m/s},\)

ha pedig felfelé, akkor

\(\displaystyle \overline{v_{y2}}=\frac{v_y-v_0}{2}=5{,}3\,\mathrm{m/s}.\)

A két esetben az esési idő:

\(\displaystyle t_1=\frac{h}{\overline{v_{y1}}}=6{,}54\,\mathrm{s}\quad\textrm{és}\quad t_2=\frac{h}{\overline{v_{y2}}}=18{,}9\,\mathrm{s}.\)

Az esés alatti vízszintes elmozdulások:

\(\displaystyle \Delta x_1=v_{0x}t_1=118\,\mathrm{m}\quad\textrm{és}\quad\Delta x_2=v_{0x} t_2=340\,\mathrm{m}.\)

Tehát a kilövés helyétől mérve legelőször \(\displaystyle x_1=x+\Delta x_1=318\,\mathrm{m}\) távolságra ér talajt tűzijáték darabka \(\displaystyle t_{\mathrm{e}}+t_1=17{,}65\,\mathrm{s}\)-mal a kilövést követően, míg a tűzijáték utolsó darabkája \(\displaystyle x_2=x+\Delta x_2=540\,\mathrm{m}\) távolságra ér talajt \(\displaystyle t_{\mathrm{e}}+t_2=30\,\mathrm{s}\)-mal a kilövést követően.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Görög Csanád Botond, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szabó Márton, Tajta Sára, Vízhányó Janka.
3 pontot kapott:	Csonka Áron, Hrubi kristóf, Papp Emese Petra, Táborosi Sára.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári fizika feladatai