A G. 845. feladat (2024. március)

G. 845. Egy személyautó és egy tehergépkocsi egyszerre indul el egy derékszögű útkereszteződésből. A személyautó $\displaystyle 20~\text{m}/\text{s}$, a teherautó $\displaystyle 15~\text{m}/\text{s}$ nagyságú sebességgel egyenletesen halad. A teherautó 10 perc múlva egy bekötőúthoz érve irányt változtat 90 fokkal, majd ott halad tovább korábbi sebességével. Mekkora távolságra lehet egymástól az autó és a tehergépkocsi a kiindulástól számított 20 perc múlva?

Tarján Imre Országos Emlékverseny, Szolnok

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A derékszögű útkereszteződést ábrázoljuk egy Descartes-féle koordináta-rendszerben. Rögzítsük azt, hogy a személyautó a pozitív $\displaystyle x$ irányba mozog, sebessége állandó, nagysága $\displaystyle 20\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=72\,\mathrm{\tfrac{km}{h}}$. Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle 20\,\mathrm{perc}=\tfrac{1}{3}\,\mathrm{h}$ múlva az origótól 24 km távolságra lesz. Az $\displaystyle x$-$\displaystyle y$ koordináta-rendszerben km egységekben ez a (24; 0) pont.

A teherautó 10 percig ($\displaystyle \tfrac{1}{6}$ óráig) halad $\displaystyle 15\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=54\,\mathrm{\tfrac{km}{h}}$ sebességgel, tehát ezalatt 9 km-t tesz meg. A teherautó mozoghat a $\displaystyle \pm x$ vagy akár a $\displaystyle \pm y$ irányba is, de 10 perc múlva az origótól mindenképpen 9 km-re lesz. Ezután derékszögben elfordul, és újabb 10 perc alatt további 9 km-t tesz meg. Vegyük észre, hogy bármerre indult is a teherautó, és utána bármerre fordult, mindenképpen az $\displaystyle x$-$\displaystyle y$ koordináta-rendszerben a tengelyek $\displaystyle 45\,^\circ$-os szögfelezőjére kerül, az origótól $\displaystyle \sqrt{2}\cdot\,9\,\mathrm{km}$-re. A teherautó koordinátái a következők lehetnek: ($\displaystyle \pm 9;\,\pm 9$), ami összesen négy esetet ír le.

A feladatban a két jármű távolságát kell kiszámítani az indulástól számított 20 perc elteltekor. Az $\displaystyle x$ tengelyre vonatkozó tükörszimmetria miatt beláthatjuk, hogy a járművek távolságát tekintve összesen két eset van. Vagy a (24; 0) és a (9; 9) pont távolságát, vagy pedig a (24; 0) és a (-9; 9) pont távolságát kell meghatároznunk. A két távolság a következő:

$\displaystyle \sqrt{(24-9)^2+9^2}=17{,}5\,\mathrm{km},$

illetve

$\displaystyle \sqrt{(24+9)^2+9^2}=34{,}2\,\mathrm{km}.$

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Antal Áron, Bakonyi Zsombor Attila, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Csonka Áron, Field Márton, Fülöp Magdaléna, Görög Csanád Botond, Havas Dániel, Hollósi Dominik, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Méhes Mátyás , Milovecz Fruzsina Panka, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó András, Szabó Márton, Táborosi Sára, Tajta Sára, Varga 511 Vivien, Zámolyi Norbert.
2 pontot kapott:	Bohner Emese, Bora Ádám, Csáki Anikó, Havasi Gergely, He Stefan, Horváth Kristóf Dominik, Hrubi kristóf, Kisida Kata, Marosi Hella Rita, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Sárecz Bence, Szabó 926 Bence, Ta Minh Khoa, Vincze Anna, Vízhányó Janka, Wolf Erik, Zhang Yan.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai