A G. 847. feladat (2024. március)

G. 847. Egy $\displaystyle R_1=1~\text{M}\Omega$ ellenállással párhuzamosan kapcsolunk egy $\displaystyle R_2$ ellenállást, majd fokozatosan további $\displaystyle R_3,R_4,~\ldots,R_n$ ellenállásokat kapcsolunk párhuzamosan hozzá. Az egyes lépésekben az eredő ellenállás rendre

$\displaystyle a)$ $\displaystyle \frac{1}{2}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \frac{1}{3}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \frac{1}{4}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle \frac{R_1}{n}$;

$\displaystyle b)$ $\displaystyle \frac{1}{2}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \frac{1}{4}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \frac{1}{8}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle \frac{R_1}{2^n}$;

$\displaystyle c)$ $\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}~\text{M}\Omega$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle \frac{R_1}{n!}$.

Mekkorák az egyes esetekben az $\displaystyle R_2$, $\displaystyle R_3$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle R_n$ ellenállások?

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Közismert, hogy ha $\displaystyle n$ egyforma, $\displaystyle R$ értékű ellenállást párhuzamosan kapcsolunk, akkor az eredő ellenállás $\displaystyle \frac{R}{n}$ lesz. Ennek megfelelően, ha azt akarjuk, hogy az eredeti $\displaystyle R$ ellenállás felét, harmadát, negyedét, $\displaystyle \frac{1}{n}$-ed részét kapjuk, akkor mindig újabb és újabb ugyanakkora, $\displaystyle R_1=1\,\mathrm{M}\Omega$ értékű ellenállást kell párhuzamosan hozzákapcsolnunk a többihez.

$\displaystyle b)$ Ha az első $\displaystyle R_1$ ellenálláshoz egy ugyanakkorát kapcsolunk párhuzamosan, akkor az eredő ellenállás a fele lesz, vagyis $\displaystyle R_1/2$. Ehhez a kettőhöz viszont egy $\displaystyle R_1/2$ értékű ellenállást kell kötnünk, hogy a három eredője $\displaystyle R_1/4$ legyen. Ezt folytatva a harmadik hozzákapcsolt ellenállásnak $\displaystyle R_1/4$ értékűnek kell lennie ahhoz, hogy az immár négy tagból álló kapcsolásnak $\displaystyle R_1/8$ legyen az eredője. A meglévőkhöz párhuzamosan hozzákapcsolt ellenállások sorozata tehát ez:

$\displaystyle R_2=R_1,\,R_3=R_1/2,\,R_4=R_1/4,\,R_5=R_1/8,\,R_6=R_1/16,\,\ldots,\,R_n=R_1/2^{(n-2)}.$

$\displaystyle c)$ Keressük azt az $\displaystyle R_n$ ellenállást, amit az előzőkhöz kapcsolva teljes eredőként $\displaystyle \frac{R_1}{n!}$ értéket kapunk. A feladat szerint az előzők eredője $\displaystyle \frac{R_1}{(n-1)!}$. A párhuzamos kapcsolás formulája szerint a következő összefüggést írhatjuk fel:

$\displaystyle \frac{1}{\frac{R_1}{(n-1)!}}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{\frac{R_1}{n!}},$

amiből

$\displaystyle R_n=\frac{1}{\frac{1}{\frac{R_1}{n!}}-\frac{1}{\frac{R_1}{(n-1)!}}}=\frac{R_1}{n!-(n-1)!}=\frac{R_1}{(n-1)[(n-1)!]}.$

Tehát a kérdéses sorozat a következő:

$\displaystyle R_2=R_1,\,R_3=R_1/4,\,R_4=R_1/18,\,R_5=R_1/96,\,\ldots,\,R_n=\frac{R_1}{(n-1)[(n-1)!]}.$

Behelyettesítéssel tudjuk ellenőrizni, hogy az általános képlet jól működik a sorozat első néhány tagja esetében.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Bora Ádám, Kisida Kata, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó András, Szabó Márton, Ta Minh Khoa, Tajta Sára, Vincze Anna.
3 pontot kapott:	Bohner Emese, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Havas Dániel, Horváth Kristóf Dominik, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Varga 511 Vivien.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai