A G. 848. feladat (2024. március)

G. 848. Hosszú, átlátszó anyagból készült, egyenes henger alaplapjának középpontjában vékony fénysugár lép be a hengerbe a környező levegőből. Milyen törésmutató esetében teljesül, hogy a fénysugár nem léphet ki a henger palástján át a levegőbe?

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A vékony fénysugár törése és visszaverődése abban a síkban történik, ami tartalmazza az egyenes henger szimmetriatengelyét (ami egyben a henger alaplapján a beesési merőleges is). Az ábra ezt a helyzetet mutatja, a téglalap alsó oldala a henger alaplapjának egyik átmérője, míg a két függőleges oldal a henger két szemközti alkotójának felel meg. Akkor nem történik teljes visszaverődés a henger palástján, vagyis akkor lép ki a fénysugár, ha az ottani beesési szög ($\displaystyle 90^{\circ}-\beta$) elegendően kicsi, vagyis $\displaystyle \sin{(90^{\circ}-\beta)}\leq 1/n$, ahol $\displaystyle n$ a henger anyagának levegőre vonatkoztatott törésmutatója.

A palásthoz tartozó $\displaystyle 90^{\circ}-\beta$ beesési szög akkor kicsi, ha az alaplapon a $\displaystyle \beta$ törési szög nagy. A legnagyobb $\displaystyle \beta$ törési szöghöz az alaplapon $\displaystyle 90^{\circ}$-os beesési szög tartozik (ez valójában csak elvi határ, mert $\displaystyle 90^{\circ}$-os beesési szög esetén a megtört nyaláb intenzitása nulla). Határesetben tehát $\displaystyle \beta$ maximumára ezt írhatjuk fel: $\displaystyle \sin{\beta_\mathrm{max}}=1/n$.

Vonjuk össze a fenti két feltételt:

$\displaystyle \sin{(90^{\circ}-\beta_\mathrm{max})}=\cos{\beta_\mathrm{max}}\leq 1/n=\sin{\beta_\mathrm{max}}.$

Ebből az következik, hogy $\displaystyle \tg{\beta_\mathrm{max}}\geq 1$, vagyis a $\displaystyle \beta_\mathrm{max}$ szögnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lenni $\displaystyle 45^{\circ}$-nál. Egyenlőség esetén $\displaystyle n=\sqrt{2}$, egyébként a henger anyagának a levegőre vonatkoztatott törésmutatójának ennél kisebbnek kell lenni:

$\displaystyle \beta_\mathrm{max}\geq 45^\circ\quad\rightarrow\quad 1/n=\sin\beta_\mathrm{max}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\rightarrow\quad n\leq\sqrt{2}\approx 1{,}41.$

Megállapíthatjuk tehát, hogy amennyiben a henger anyagának a törésmutatója $\displaystyle \sqrt{2}$-nél nagyobb, akkor a henger alaplapján belépő fénysugár semmilyen esetben sem léphet ki a henger palástján, hanem teljes visszaverődés történik. Érdekességként megemlítjük, hogy akármilyen fajta üvegből is készül a henger, a fénysugár nem lép ki a palástján, mert nincs olyan üveg, amelynek $\displaystyle \sqrt{2}$-nél kisebb lenne a törésmutatója (a legtöbb üveg törésmutatója $\displaystyle 1{,}5$ és $\displaystyle 1{,}6$ közötti érték).

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Csonka Áron, Fülöp Magdaléna, Porcsin Gréta.
3 pontot kapott:	Bús László Teodor, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Szabó András.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai