Problem G. 849. (April 2024)

G. 849. How long would a day on Earth be if there was weightlessness on the equator? Assume that all parameters other than the period of rotation are constant.

(3 pont)

Deadline expired on May 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Akkor lenne súlytalanság az Egyenlítőn, ha ott kizárólag a gravitációs erő szolgáltatná az egyenletes körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást:

\(\displaystyle \gamma\frac{M}{R^2}=R\omega^2=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M\) a Föld tömege, \(\displaystyle R\) a Föld egyenlítői sugara, \(\displaystyle \omega\) a Föld szögsebessége és \(\displaystyle T\) a Föld forgásideje, vagyis a feladatban kérdéses nap hosszúsága:

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma M}}=5070\,\mathrm{s}=1,41\,\mathrm{h}.\)

Megjegyzések. 1. A \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás a Föld felszínén nem mindenhol pontosan ugyanakkora; a sarkokon \(\displaystyle g=9,83\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), míg az Egyenlítőn \(\displaystyle g=9,78\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Az eltérés oka kisebb részben a Föld lapultsága, nagyobb részben pedig a tengely körüli forgása. Közelítőleg mondhatjuk azt, hogy az Egyenlítőn a nehézségi gyorsulás a jól ismert \(\displaystyle g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) érték lenne, ha a Föld nem forogna (persze akkor nem is lenne egyenlítője a Földnek). A feladatot \(\displaystyle g\) segítségével így is megoldhatjuk:

\(\displaystyle g=R\omega^2=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

amiből

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=5070\,\mathrm{s}=1,41\,\mathrm{h}.\)

2. Az eredményül kapott \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\) kifejezés sok példából ismerős lehet. Például ennyi a Föld felszínéhez közel repülő műhold keringési ideje (ha nem lenne légellenállás), ennyi az egyenletes tömegeloszlásúnak képzelt Föld középpontján átmenő, egyenes, vákuumozott alagútba ejtett test harmonikus rezgőmozgásának periódusideje, stb.

Statistics:

41 students sent a solution.
3 points:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Field Márton, Gerlei Dániel, Görög Csanád Botond, He Stefan, Hollósi Dominik, Horváth 001 Botond , Horváth Kristóf Dominik, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Porcsin Gréta, Sárecz Bence, Szabó Márton, Tajta Sára, Varga 511 Vivien, Vértesi Janka, Vincze Anna, Vízhányó Janka, Wolf Erik.
2 points:	Chen Yu, Papp Emese Petra, Sógor-Jász Soma.
1 point:	3 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2024