Problem G. 850. (April 2024)

G. 850. What is the equivalent resistance of the circuit shown in the figure between the two terminals of the battery?

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük meg a csomópontokat (1. ábra). Azokat a csomópontokat amelyeket (elhanyagolható ellenállású) vezeték köt össze, azonos betűvel jelöljük, hiszen ezek lényegében ugyanazok.

1. ábra

Következő lépésben (2. ábra) összevonjuk az azonos jelű csomópontokat, és a sorosan kötött ellenállásokat: Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont közötti felső ág ellenállása \(\displaystyle R_{AB\textrm{felső}}=10\,\Omega+10\,\Omega=20\,\Omega\), Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok között a jobb szélen pedig \(\displaystyle R_{AC\textrm{jobb}}=23\,\Omega+40\,\Omega+37\,\Omega=100\,\Omega\).

2. ábra

Ezután kiszámítjuk a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét, és ezekkel helyettesítjük a párhuzamosan kapcsolt elemeket. Itt az egyszerűbb írásmód miatt használni fogjuk (a villamosmérnöki gyakorlat alapján) a \(\displaystyle \times\) jelet a ,,replusz'' (reciprokok összegének reciproka) műveletre:

\(\displaystyle R_1\times R_2=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)^{-1}.\)

\(\displaystyle R_{AB}=20\,\Omega\times 20\,\Omega=10\,\Omega\), \(\displaystyle R_{CD}=10\,\Omega\times 40\,\Omega=8\,\Omega\), \(\displaystyle R_{DE}=24\,\Omega\times 24\,\Omega=12\,\Omega\). Ezután a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\) csomópont meg is szűnik (3. ábra).

3. ábra

A következő lépés ismét a sorosan kapcsolt ellenállások összevonás. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti (bal felső sarokban lévő) két ellenállás eredője \(\displaystyle R_{AC\textrm{balfelső}}=10\,\Omega+15\,\Omega=25\,\Omega\), \(\displaystyle R_{DF}=12\,\Omega+16\,\Omega=28\,\Omega\). Ezzel együtt érdemes az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közti \(\displaystyle 100\,\Omega\)-os ágat ,,áthajtani'' a bal oldalra (4. ábra).

4. ábra

Egyre kevesebb ellenállásunk van, a folyamat felgyorsul: \(\displaystyle R_{AC}=100\,\Omega\times 25\,\Omega=20\,\Omega\) (5. ábra a) rész), így a \(\displaystyle C\) csomópont megszűnik és \(\displaystyle R_{AD\textrm{bal}}=20\,\Omega+8\,\Omega=28\,\Omega\) (5. ábra b) rész), \(\displaystyle R_{AD}=28\,\Omega\times 4\,\Omega=3{,}5\,\Omega\) (5. ábra c) rész), végül \(\displaystyle R_{AF}=3{,}5\,\Omega+28\,\Omega=31{,}5\,\Omega\) (5. ábra d) rész).

5. ábra

Az eredő ellenállás tehát \(\displaystyle 31{,}5\,\Omega\).

Megjegyzés. Láthatjuk, hogy a végeredményt a \(\displaystyle 4\,\Omega\)-os ellenállás, valamint a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle F\) pontok közötti három ellenállás (ezek eredője az \(\displaystyle R_{DF}=28\,\Omega\)) határozza meg, a többi ellenállásnak (amelyek eredője aztán párhuzamosan van kapcsolva a \(\displaystyle 4\,\Omega\)-ossal) alig van szerepe.

Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:	Blaskovics Ádám, Bohner Emese, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Csonka Áron, Dömők Bernadett, Fülöp Magdaléna, Gerlei Dániel, Görög Csanád Botond, Hrubi kristóf, Jávor Botond, Kámán-Gausz Péter, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Méhes Mátyás , Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szabó Márton, Táborosi Sára, Tajta Sára, Vértesi Janka, Vincze Anna, Vízhányó Janka, Zhang Yan.
3 points:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Havas Dániel.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2024