Problem G. 853. (May 2024)

G. 853. A police car is driving on the motorway. Its speed was recorded by the computer system of the car, and the following graph \(\displaystyle v_\mathrm{r}(t)\) was produced. Suddenly a motorcyclist overtakes the police car, the police car measures the speed of the motorcyclist. The graph \(\displaystyle u_\mathrm{m}(t)\) shows the speed of the motorcyclist with respect to the police car.

\(\displaystyle a)\) Plot the graph \(\displaystyle v_\mathrm{m}(t)\), which is the speed of the motorcyclist relative to the ground.

\(\displaystyle b)\) During the time period shown in the graphs, when were the two vehicles the furthest from each other? What was this greatest distance?

\(\displaystyle c)\) After the 60th second, they continue at constant speed. When will the police car overtake the motorcyclist?

(4 pont)

Deadline expired on June 17, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A motoros földhöz viszonyított sebessége:

\(\displaystyle v_\mathrm{m}(t)=v_\mathrm{r}(t)+u_\mathrm{m}(t),\)

ami alapján megszerkeszthetjük a grafikont (felső grafikon piros görbéje):

\(\displaystyle b)\) Egy rövid \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt a két jármű közötti távolság változása:

\(\displaystyle \Delta s=\left[v_\mathrm{m}(t)-v_\mathrm{r}(t)\right]\Delta t=u_\mathrm{m}(t)\Delta t,\)

tehát egy adott idő alatt a távolság változását a két sebesség grafikon közötti terület, vagy (egyszerűbben) a relatív sebesség grafikon alatti terület adja meg. A \(\displaystyle t=0\) pillanatban előzi le a motoros a rendőrautót, a távolságuk ekkor nulla. A távolság addig növekszik, amíg a motoros sebessége a nagyobb (\(\displaystyle t=50\,\mathrm{s}\)). A legnagyobb távolság a rajzon halványpirossal jelölt terület nagysága:

\(\displaystyle s_\mathrm{max}=10\cdot25+20\cdot30+10\cdot25+10\cdot10=1200\,\mathrm{s\cdot\frac{km}{h}}=\frac{1}{3}\,\mathrm{km}.\)

\(\displaystyle c)\) Ezután a rendőrautó a gyorsabb. Akkor éri utol a motorost, amikor a távolságuk újra nulla lesz. Azt kell megkeresnünk, hogy mikor lesz a rajzon halványkékkel jelölt terület egyenlő \(\displaystyle s_\mathrm{max}\)-szal:

\(\displaystyle 10\cdot10+(t_0-60)\cdot20=1200,\)

amiből \(\displaystyle t_0=115\,\mathrm{s}.\)

Statistics:

39 students sent a solution.
4 points:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bohner Emese, Fülöp Magdaléna, Gerlei Dániel, Havas Dániel, Horváth 001 Botond , Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Porcsin Gréta, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szabó Márton, Tajta Sára, Varga 511 Vivien.
3 points:	Bús László Teodor, Horváth Kristóf Dominik, Jávor Botond, Kisida Kata, Sipos Dániel Sándor, Vincze Anna.
2 points:	5 students.
1 point:	7 students.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2024