Problem G. 854. (May 2024)

G. 854. A spherical balloon is filled with some gas, whose density is smaller than that of the air. In order to make the balloon float at a certain height in the room, paper clips are hung on the free end of the rope, which is tied to the balloon. The floating was not achieved because the balloon rose if 7 paper clips were hung on the end of the rope, but descended if 8 were hung on the end of the rope. What is the density of the gas in the balloon? The density of the air in the room is \(\displaystyle 1.20~\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\). The balloon has a diameter of \(\displaystyle 26~\mathrm{cm}\) and a mass of \(\displaystyle 3~\mathrm{g}\) (before it was inflated). The mass of the rope is \(\displaystyle 2~\mathrm{g}\), the mass of one paper clip is \(\displaystyle 0.6~\mathrm{g}\). The thickness of the material of the balloon, the volume of the rope and the paper clips can be ignored.

(4 pont)

Deadline expired on June 17, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a léggömb lebegne, akkor a nehézségi erő egyensúlyt tartana a felhajtóerővel: \(\displaystyle mg=F_{\mathrm{fel}}\). A felhajtóerő a kiszorított levegő súlyával egyezik meg, tehát ennek kifejezésében is benne van a \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás, vagyis \(\displaystyle g\)-vel egyszerűsíthetünk. Tehát lebegéskor a léggömb teljes tömege megegyezik a kiszorított levegő tömegével:

\(\displaystyle 3\,\mathrm{g}+2\,\mathrm{g}+n\cdot 0{,}6\,\mathrm{g}+\rho\,\cdot\,\frac{4}{3}\pi(13\,\mathrm{cm})^3=1{,}20\,\cdot\,10^{-3}\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\,\cdot\,\frac{4}{3}\pi(13\,\mathrm{cm})^3,\)

ahol a gemkapcsok \(\displaystyle n\) száma 7 vagy 8. Ha \(\displaystyle n=7\), akkor a töltőgáz sűrűségére \(\displaystyle \rho_{\mathrm{max}}=2{,}00\,\cdot\,10^{-4}\,\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\)-t kapunk, ha viszont \(\displaystyle n=8\), akkor \(\displaystyle \rho_{\mathrm{min}}=1{,}35\,\cdot\,10^{-4}\,\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\) jön ki. Megállapíthatjuk tehát, hogy a léggömb töltőgázának sűrűsége (SI mértékegységekben) \(\displaystyle 0{,}135\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\) és \(\displaystyle 0{,}200\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\) közé esik.

Megjegyzés: Mivel a normál állapotú hélium sűrűsége \(\displaystyle 0{,}166\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\), így feltételezhetjük, hogy a léggömb héliummal van töltve.

Statistics:

38 students sent a solution.
4 points:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bohner Emese, Bora Ádám, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Gerlei Dániel, Havas Dániel, Hollósi Dominik, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Szabó András, Tajta Sára, Varga 511 Vivien, Vincze Anna, Wolf Erik.
2 points:	2 students.
1 point:	8 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2024