A G. 854. feladat (2024. május)

G. 854. Egy gömb alakú léggömbbe a levegőnél kisebb sűrűségű gázt töltöttek. A léggömbről lelógó spárgának a végére gemkapcsokat akasztgatunk abból a célból, hogy a léggömb a teremben egy adott magasságban lebegjen. A lebegést nem sikerült megvalósítani, mert a léggömb, ha 7 gemkapcsot akasztottunk a spárga végére, felemelkedett, de ha 8-at, akkor lesüllyedt. Mekkora lehet a léggömbben lévő gáz sűrűsége? A teremben a levegő sűrűsége \(\displaystyle 1{,}20~\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\). A léggömb átmérője \(\displaystyle 26~\mathrm{cm}\), tömege felfújatlan állapotban \(\displaystyle 3~\mathrm{g}\). A spárga tömege \(\displaystyle 2~\mathrm{g}\), egy gemkapocs tömege \(\displaystyle 0{,}6~\mathrm{g}\). A léggömb anyagának vastagságától, a spárga és a gemkapcsok térfogatától eltekinthetünk!

Tarján Imre Országos Emlékverseny, Szolnok

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a léggömb lebegne, akkor a nehézségi erő egyensúlyt tartana a felhajtóerővel: \(\displaystyle mg=F_{\mathrm{fel}}\). A felhajtóerő a kiszorított levegő súlyával egyezik meg, tehát ennek kifejezésében is benne van a \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás, vagyis \(\displaystyle g\)-vel egyszerűsíthetünk. Tehát lebegéskor a léggömb teljes tömege megegyezik a kiszorított levegő tömegével:

\(\displaystyle 3\,\mathrm{g}+2\,\mathrm{g}+n\cdot 0{,}6\,\mathrm{g}+\rho\,\cdot\,\frac{4}{3}\pi(13\,\mathrm{cm})^3=1{,}20\,\cdot\,10^{-3}\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\,\cdot\,\frac{4}{3}\pi(13\,\mathrm{cm})^3,\)

ahol a gemkapcsok \(\displaystyle n\) száma 7 vagy 8. Ha \(\displaystyle n=7\), akkor a töltőgáz sűrűségére \(\displaystyle \rho_{\mathrm{max}}=2{,}00\,\cdot\,10^{-4}\,\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\)-t kapunk, ha viszont \(\displaystyle n=8\), akkor \(\displaystyle \rho_{\mathrm{min}}=1{,}35\,\cdot\,10^{-4}\,\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\) jön ki. Megállapíthatjuk tehát, hogy a léggömb töltőgázának sűrűsége (SI mértékegységekben) \(\displaystyle 0{,}135\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\) és \(\displaystyle 0{,}200\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\) közé esik.

Megjegyzés: Mivel a normál állapotú hélium sűrűsége \(\displaystyle 0{,}166\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\), így feltételezhetjük, hogy a léggömb héliummal van töltve.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Bohner Emese, Bora Ádám, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Gerlei Dániel, Havas Dániel, Hollósi Dominik, Jávor Botond, Kis Boglárka 08, Kisida Kata, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Porcsin Gréta, Sipos Dániel Sándor, Szabó András, Tajta Sára, Varga 511 Vivien, Vincze Anna, Wolf Erik.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai