 |
A G. 868. feladat (2024. november) |
G. 868. Az ábrán látható rombusz oldalélei \(\displaystyle R\) ellenállásúak, az egyik átlós élének ellenállása pedig \(\displaystyle xR\), ahol \(\displaystyle x\ge 0\) egy változtatható paraméter. Két tetszőleges csúcspontra \(\displaystyle U\) feszültséget kapcsolunk. Számítsuk ki minden lehetséges esetben az öt ellenálláson fejlődő teljes hőteljesítményt az \(\displaystyle x\) paraméter függvényében!
Közli: Cserti József, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Ha az 1-3 pontokra kapcsoljuk az \(\displaystyle U\) feszültséget, akkor az \(\displaystyle xR\) ellenálláson nem folyik áram, az eredő ellenállás pedig \(\displaystyle R\) lesz, vagyis a hőteljesítmény \(\displaystyle x\)-től függetlenül
\(\displaystyle P_{1-3}=\frac{U^2}{R}.\)
Ha a 2-4 pontokra kötjük a tápfeszültséget, akkor az olyan, mintha az \(\displaystyle xR\) ellenállással egyetlen \(\displaystyle R\) ellenállást kapcsolnánk párhuzamosan. Ezek eredője
\(\displaystyle \frac{x}{1+x}R,\)
tehát a teljes hőteljesítmény
\(\displaystyle P_{2-4}=\frac{U^2(1+x)}{xR}.\)
Ha bármely más csúcspárra kötjük az \(\displaystyle U\) feszültséget, akkor az elrendezés szimmetriája miatt mindig ugyanakkora hőteljesítményt kapunk. Vizsgáljuk mondjuk az 1-2 csúcspárt. Ezekben az esetekben \(\displaystyle 2R\) ellenállás van párhuzamos kötve az \(\displaystyle xR\) ellenállással, ami eredőben
\(\displaystyle \frac{2x}{2+x}R\)
ellenállást ad, amihez még egy \(\displaystyle R\) ellenállás jön sorosan:
\(\displaystyle \frac{2x}{2+x}R+R=\frac{3x+2}{2+x}R.\)
Végül ehhez még egy ellenállás van kapcsolva párhuzamosan:
\(\displaystyle \frac{\frac{3x+2}{2+x}}{\frac{3x+2}{2+x}+1}R=\frac{3x+2}{4x+4}R,\)
tehát a teljes hőteljesítmény:
\(\displaystyle P_{1-2}=\frac{(4x+4)U^2}{(3x+2)R}.\)
Megjegyzés. Ha \(\displaystyle x\rightarrow\infty\), akkor \(\displaystyle P_{2-4}\rightarrow P_{1-3}=\frac{U^2}{R}\), ami \(\displaystyle x\)-től független, míg \(\displaystyle P_{1-2}\rightarrow\frac{4U^2}{3R}\).
Ha \(\displaystyle x\rightarrow 0\), akkor \(\displaystyle P_{2-4}\rightarrow\infty\), míg \(\displaystyle P_{1-2}\rightarrow\frac{2U^2}{R}\).
Statisztika:
A G. 868. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai