A G. 868. feladat (2024. november)

G. 868. Az ábrán látható rombusz oldalélei $\displaystyle R$ ellenállásúak, az egyik átlós élének ellenállása pedig $\displaystyle xR$, ahol $\displaystyle x\ge 0$ egy változtatható paraméter. Két tetszőleges csúcspontra $\displaystyle U$ feszültséget kapcsolunk. Számítsuk ki minden lehetséges esetben az öt ellenálláson fejlődő teljes hőteljesítményt az $\displaystyle x$ paraméter függvényében!

Közli: Cserti József, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Ha az 1-3 pontokra kapcsoljuk az $\displaystyle U$ feszültséget, akkor az $\displaystyle xR$ ellenálláson nem folyik áram, az eredő ellenállás pedig $\displaystyle R$ lesz, vagyis a hőteljesítmény $\displaystyle x$-től függetlenül

$\displaystyle P_{1-3}=\frac{U^2}{R}.$

Ha a 2-4 pontokra kötjük a tápfeszültséget, akkor az olyan, mintha az $\displaystyle xR$ ellenállással egyetlen $\displaystyle R$ ellenállást kapcsolnánk párhuzamosan. Ezek eredője

$\displaystyle \frac{x}{1+x}R,$

tehát a teljes hőteljesítmény

$\displaystyle P_{2-4}=\frac{U^2(1+x)}{xR}.$

Ha bármely más csúcspárra kötjük az $\displaystyle U$ feszültséget, akkor az elrendezés szimmetriája miatt mindig ugyanakkora hőteljesítményt kapunk. Vizsgáljuk mondjuk az 1-2 csúcspárt. Ezekben az esetekben $\displaystyle 2R$ ellenállás van párhuzamos kötve az $\displaystyle xR$ ellenállással, ami eredőben

$\displaystyle \frac{2x}{2+x}R$

ellenállást ad, amihez még egy $\displaystyle R$ ellenállás jön sorosan:

$\displaystyle \frac{2x}{2+x}R+R=\frac{3x+2}{2+x}R.$

Végül ehhez még egy ellenállás van kapcsolva párhuzamosan:

$\displaystyle \frac{\frac{3x+2}{2+x}}{\frac{3x+2}{2+x}+1}R=\frac{3x+2}{4x+4}R,$

tehát a teljes hőteljesítmény:

$\displaystyle P_{1-2}=\frac{(4x+4)U^2}{(3x+2)R}.$

Megjegyzés. Ha $\displaystyle x\rightarrow\infty$, akkor $\displaystyle P_{2-4}\rightarrow P_{1-3}=\frac{U^2}{R}$, ami $\displaystyle x$-től független, míg $\displaystyle P_{1-2}\rightarrow\frac{4U^2}{3R}$.

Ha $\displaystyle x\rightarrow 0$, akkor $\displaystyle P_{2-4}\rightarrow\infty$, míg $\displaystyle P_{1-2}\rightarrow\frac{2U^2}{R}$.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Csáki Anikó, Hegedüs Márk, Majer Veronika, Molnár Sámuel , Szabó András, Szighardt Anna, Szűcs Kitti, Tóth Domonkos.
3 pontot kapott:	Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Rácz Koppány Bendeguz, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai