A G. 882. feladat (2025. március)

G. 882. Az ábrán látható rendszer egyensúlyban van, a középső kötél vízszintes helyzetű.

a) Milliméterpapíron, vonalzóval és szögmérővel történő szerkesztéssel határozzuk meg a kötélszárakban ható három erőt, valamint az ismeretlen $\displaystyle \vartheta$ szöget!

b) Becsüljük meg, hogy a szerkesztés segítségével a kérdéses adatokat hány százalékos hibával kaptuk meg!

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. a) A kényelem kedvéért a milliméterpapíron a skálát úgy válasszuk meg, hogy 1 N erő 1 mm-t jelentsen. A szerkesztést az alábbi ábra mutatja:

A tartóköteleknek két csomópontja van, azokba három-három kötélszár fut be, az ezekhez tartozó kötélerők az egyes csomópontokban kiegyensúlyozzák egymást. A szerkesztést a bal oldali csomóponttal kezdjük.

A 40 N-os erő függőleges, ezzel $\displaystyle 35^\circ$ -os szöget zár be a $\displaystyle T_1$ erő, illetve a $\displaystyle T_2$ erő vízszintes. A szöget felmérve, majd a 40 N-os erő ellentettjét berajzolva, végül párhuzamosok berajzolásával leolvashatjuk, hogy $\displaystyle T_1=49\,\mathrm{N}$ és $\displaystyle T_2=28\,\mathrm{N}$ .

A $\displaystyle T_2=28\,\mathrm{N}$ -os erőt másoljuk át a jobb oldali csomópontba, és vegyük fel a függőleges irányú 50 N-os nehézségi erőt is. Ezek összege adja a $\displaystyle T_3$ erő ellentettjét. A rajzról leolvashatjuk, hogy $\displaystyle T_3=57\,\mathrm{N}$ , illetve $\displaystyle \vartheta=29{,}5^\circ$ .

b) Durván azt mondhatjuk, hogy $\displaystyle 0{,}5\,\mathrm{mm}$ -es pontossággal tudjuk az erőket leolvasni, ami 1%-os hibát jelent a nagyobb erők, illetve 2%-os hibát a kisebb erő esetében. A szöget fél fok pontossággal olvashatjuk le, ami a jelen esetben 2%-nál valamivel kisebb hibát jelent.

Megjegyzés. Szögfüggvények, illetve Pitagorasz-tétel segítségével is megkaphatjuk a kérdéses adatokat:

$\begin{gather*} T_1=\frac{40\,\mathrm{N}}{\cos{35^{\circ}}}=48{,}83\,\mathrm{N}\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\Delta T_1}{T_1}=3{,}5\cdot 10^{-3}=0{,}35\%,\\ T_2=40\,\mathrm{N}\cdot\tg{35^{\circ}}=28{,}01\,\mathrm{N}\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\Delta T_2}{T_2}=3\cdot 10^{-4}=0{,}03\%,\\ T_3=\sqrt{T_2^2+(50\,\mathrm{N})^2}=57{,}31\,\mathrm{N}\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\Delta T_3}{T_3}=5{,}4\cdot 10^{-3}=0{,}54\%,\\ \sin{\vartheta}=\frac{T_2}{T_3}=0{,}4887\qquad\Rightarrow\qquad\vartheta=29{,}26\,^\circ\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\Delta\vartheta}{\vartheta}=8{,}3\cdot 10^{-3}=0{,}83\%. \end{gather*}$

Láthatjuk, hogy gondos szerkesztéssel a durva becsléssel megállapított hibahatárnál pontosabb eredményeket kaphatunk.

Statisztika:

A G. 882. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?