Az I. 423. feladat (2017. február)

I. 423. Ha egy $\displaystyle m$ tömegű pontszerű testet egy $\displaystyle D$ rugóállandójú rugóra függesztünk, majd egyensúlyi helyzetéből függőlegesen kitérítjük, akkor a test harmonikus rezgőmozgást végez. A mozgással az I. 417. feladatban foglalkoztunk. A feladatot általánosítjuk, és most azt vizsgáljuk, hogy milyen mozgás alakul ki akkor, ha a kitérés kezdetben nem függőleges.

A test mozgásának leírása igen összetett, a részletek iránt érdeklődőknek ajánljuk a Fizikai Szemle 2006/10. számát: http://fiztan.phd.elte.hu/nyilt/publokt/Tel-200610.pdf. A pontszerű test mozgásegyenletének megoldása helyett alkalmazzunk szimulációt a mozgás leírására.

Legyen egy $\displaystyle D$ rugóállandójú húzó-nyomó rugó, amely a kezdeti $\displaystyle l_{0}$ hosszúságtól való $\displaystyle \Delta l$ megnyúlással vagy összenyomással ellentétes irányú, és azzal arányos $\displaystyle F_{\text{rugó}}=-D\cdot \Delta l$ erőt fejt ki. Az elhanyagolható tömegű rugó egyik vége egy pontban rögzített (e körül szabadon elfordulhat), másik végén egy $\displaystyle m$ tömegű test található. Könnyen látható, hogy ha a testet egy pontban kezdősebesség nélkül elengedjük, akkor egy olyan függőleges síkban mozog, amely a rugó rögzítési pontját és a test kezdőpontját is tartalmazza. Feladatunk az, hogy ennek a síkmozgásnak a pályáját megrajzoljuk.

A szimulációt a következő leírás alapján végezzük:

1. Vonatkoztatási rendszerként célszerű olyan derékszögű koordináta-rendszert használni, amelynek $\displaystyle y$ tengelye függőleges, origója pedig a rugó felfüggesztési pontja.

2. Kezdetben (és minden későbbi pillanatban) ismerjük a test $\displaystyle \mathbf{r}(x,y)$ helyvektorát, amiből kiszámítható a nyújtatlanul $\displaystyle l_{0}$ hosszúságú rugó aktuális hossza és $\displaystyle \Delta l$ megnyúlása vagy összenyomódása.

3. A rugóerő nagyságát a $\displaystyle F_\text{rugó}=-D\cdot \Delta l$ képletből kapjuk, az erő irányát a test helyzetéből tudjuk meghatározni.

4. A testre a rugón kívül még a nehézségi erő hat. Az erőhatások függetlenségének elve alapján mindkét erőt felbonthatjuk a koordináta-rendszer tengelyeinek megfelelően, így ki tudjuk számítani az összegüket, tehát a testre ható eredő erő koordinátáit.

5. Ezek alapján megkapható a test $\displaystyle \mathbf{a}$ pillanatnyi gyorsulásvektora, illetve annak koordinátái.

6. A test az adott helyzetéből $\displaystyle \Delta t$ idő alatt elmozdul. A $\displaystyle \Delta \mathbf{r}$ elmozdulásvektort közelítsük a pillanatnyi sebesség és gyorsulás értékeiből a

$\displaystyle \Delta \mathbf{r}= \mathbf{v}\cdot \Delta t+\frac{1}{2} \mathbf{a}\cdot {(\Delta t)}^{2}$

képlet segítségével.

7. A test pillanatnyi $\displaystyle \mathbf{v}$ sebességét $\displaystyle \Delta t$ idővel később a $\displaystyle \mathbf{v}(\Delta t) =\mathbf{v}+\mathbf{a}\cdot \Delta t$ kifejezéssel adjuk meg.

8. Helyezzük tehát a testet az új helyére, végezzük el a rajzolást, majd folytassuk a szimulációt a 2. ponttól.

A program legyen felhasználóbarát, tehát oldjuk meg, hogy a fizikai paramétereket ($\displaystyle m$, $\displaystyle D$, $\displaystyle l_{0}$, $\displaystyle \Delta t)$ és a test $\displaystyle \mathbf{r}(x,y)$ kezdeti pozícióját a szimuláció megkezdése előtt a felhasználó megadhassa.

Beküldendő egy i423.zip tömörített mappában a szimulációt végző program forráskódja, a fordításhoz és futtatáshoz szükséges környezet leírása. A megoldáshoz a versenykiírásban szereplő fejlesztői rendszerek egyike, illetve ahhoz egyszerűen telepíthető ingyenes grafikus kiegészítő könyvtár (pl. SFML) használható.

(10 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

—

Statisztika:

1 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. februári informatika feladatai