Az I. 423. feladat (2017. február)

I. 423. Ha egy \(\displaystyle m\) tömegű pontszerű testet egy \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugóra függesztünk, majd egyensúlyi helyzetéből függőlegesen kitérítjük, akkor a test harmonikus rezgőmozgást végez. A mozgással az I. 417. feladatban foglalkoztunk. A feladatot általánosítjuk, és most azt vizsgáljuk, hogy milyen mozgás alakul ki akkor, ha a kitérés kezdetben nem függőleges.

A test mozgásának leírása igen összetett, a részletek iránt érdeklődőknek ajánljuk a Fizikai Szemle 2006/10. számát: http://fiztan.phd.elte.hu/nyilt/publokt/Tel-200610.pdf. A pontszerű test mozgásegyenletének megoldása helyett alkalmazzunk szimulációt a mozgás leírására.

Legyen egy \(\displaystyle D\) rugóállandójú húzó-nyomó rugó, amely a kezdeti \(\displaystyle l_{0}\) hosszúságtól való \(\displaystyle \Delta l\) megnyúlással vagy összenyomással ellentétes irányú, és azzal arányos \(\displaystyle F_{\text{rugó}}=-D\cdot \Delta l\) erőt fejt ki. Az elhanyagolható tömegű rugó egyik vége egy pontban rögzített (e körül szabadon elfordulhat), másik végén egy \(\displaystyle m\) tömegű test található. Könnyen látható, hogy ha a testet egy pontban kezdősebesség nélkül elengedjük, akkor egy olyan függőleges síkban mozog, amely a rugó rögzítési pontját és a test kezdőpontját is tartalmazza. Feladatunk az, hogy ennek a síkmozgásnak a pályáját megrajzoljuk.

A szimulációt a következő leírás alapján végezzük:

1. Vonatkoztatási rendszerként célszerű olyan derékszögű koordináta-rendszert használni, amelynek \(\displaystyle y\) tengelye függőleges, origója pedig a rugó felfüggesztési pontja.

2. Kezdetben (és minden későbbi pillanatban) ismerjük a test \(\displaystyle \mathbf{r}(x,y)\) helyvektorát, amiből kiszámítható a nyújtatlanul \(\displaystyle l_{0}\) hosszúságú rugó aktuális hossza és \(\displaystyle \Delta l\) megnyúlása vagy összenyomódása.

3. A rugóerő nagyságát a \(\displaystyle F_\text{rugó}=-D\cdot \Delta l\) képletből kapjuk, az erő irányát a test helyzetéből tudjuk meghatározni.

4. A testre a rugón kívül még a nehézségi erő hat. Az erőhatások függetlenségének elve alapján mindkét erőt felbonthatjuk a koordináta-rendszer tengelyeinek megfelelően, így ki tudjuk számítani az összegüket, tehát a testre ható eredő erő koordinátáit.

5. Ezek alapján megkapható a test \(\displaystyle \mathbf{a}\) pillanatnyi gyorsulásvektora, illetve annak koordinátái.

6. A test az adott helyzetéből \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt elmozdul. A \(\displaystyle \Delta \mathbf{r}\) elmozdulásvektort közelítsük a pillanatnyi sebesség és gyorsulás értékeiből a

\(\displaystyle \Delta \mathbf{r}= \mathbf{v}\cdot \Delta t+\frac{1}{2} \mathbf{a}\cdot {(\Delta t)}^{2} \)

képlet segítségével.

7. A test pillanatnyi \(\displaystyle \mathbf{v}\) sebességét \(\displaystyle \Delta t\) idővel később a \(\displaystyle \mathbf{v}(\Delta t) =\mathbf{v}+\mathbf{a}\cdot \Delta t\) kifejezéssel adjuk meg.

8. Helyezzük tehát a testet az új helyére, végezzük el a rajzolást, majd folytassuk a szimulációt a 2. ponttól.

A program legyen felhasználóbarát, tehát oldjuk meg, hogy a fizikai paramétereket (\(\displaystyle m\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle l_{0}\), \(\displaystyle \Delta t)\) és a test \(\displaystyle \mathbf{r}(x,y)\) kezdeti pozícióját a szimuláció megkezdése előtt a felhasználó megadhassa.

Beküldendő egy i423.zip tömörített mappában a szimulációt végző program forráskódja, a fordításhoz és futtatáshoz szükséges környezet leírása. A megoldáshoz a versenykiírásban szereplő fejlesztői rendszerek egyike, illetve ahhoz egyszerűen telepíthető ingyenes grafikus kiegészítő könyvtár (pl. SFML) használható.

(10 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

—

Statisztika:

1 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. februári informatika feladatai