A K/C. 697. feladat (2021. szeptember)

K/C. 697. Egy kocka néhány lapját befestettük, és a kockát felvágtuk egyforma méretű kisebb kockákra. Így 45 olyan kisebb kockát kaptunk, amelyiknek nincs befestve egyik lapja sem. Hány lapját festettük be a kockának?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A festett kocka kisebb kockákra való felvágása után távolítsuk el azokat a külső kockarétegeket, amelyek tartalmaznak festett kockákat! Az így kapott alakzat egy téglatest, amelyben az élek hossza között legfeljebb 2 az eltérés (a kisebb kockák élével számolva az élhosszokat). Mivel a téglatest térfogatát élei hosszának szorzataként számítjuk ki, ezért a 45-öt úgy kell három szám szorzatára bontanunk, hogy a tényezők között legfeljebb 2 legyen az eltérés. Mivel a \(\displaystyle 45\) prímtényezős felbontása \(\displaystyle 3\cdot3\cdot5\), ezért a lehetséges szorzattá bontások (a tényezőket nagyság szerint rendezve): \(\displaystyle 45=1\cdot1\cdot45=1\cdot3\cdot15=1\cdot5\cdot9=3\cdot3\cdot5\). Tehát az egyetlen megfelelő felbontás a \(\displaystyle 3\cdot3\cdot5\). Ebben az esetben az eredeti kocka \(\displaystyle 5\times5\times5\)-ös volt. Mivel két irányból is egy-egy réteget vettünk le, hogy a \(\displaystyle 3\times3\times5\)-ös téglatestet kapjuk, ezért négy lapját kellett befestenünk olyan elrendezésben, hogy két szemközti lapja maradt festetlen.

Statisztika:

261 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	106 versenyző.
4 pontot kapott:	49 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	41 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai