 |
A K/C. 738. feladat (2022. október) |
K/C. 738. A falinaptáron a hónap napjait hét oszlopba rendezve tüntetik fel. Balról jobbra és utána fentről lefelé haladva az egyes oszlopok a hét napjainak megfelelő napok sorszámát tartalmazzák egymás után. Egy ilyen falinaptárban egy \(\displaystyle n\times n\)-es négyzetes elrendezésben található napsorszámok összege 198. Mekkora lehet az érintett napsorszámok között a legkisebb?
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy ilyen naptárrészben az egy oszlopban levő számok fentről lefelé mindig 7-tel növekednek. Legyen a legkisebb szám \(\displaystyle x\).
\(\displaystyle 2\times2\)-es négyzet esetén a napsorszámok összege \(\displaystyle 4x + 16 = 198\), ami nem ad \(\displaystyle x\)-re egész megoldást.
\(\displaystyle 3\times3\)-as négyzetes elrendezés esetén a 9 szám:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle x+1\) | \(\displaystyle x+2\) |
| \(\displaystyle x+7\) | \(\displaystyle x+8\) | \(\displaystyle x+9\) |
| \(\displaystyle x+14\) | \(\displaystyle x+15\) | \(\displaystyle x+16\) |
A napsorszámok összege \(\displaystyle 9x + 3 + 24 + 45 = 9x + 72 = 198\), ahonnan \(\displaystyle x = 14\). Mivel a legnagyobb szám 30, így valóban mindegyik lehet nap sorszáma.
\(\displaystyle 4\times4\)-es négyzetes elrendezés esetén a 16 szám:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle x+1\) | \(\displaystyle x+2\) | \(\displaystyle x+3\) |
| \(\displaystyle x+7\) | \(\displaystyle x+8\) | \(\displaystyle x+9\) | \(\displaystyle x+10\) |
| \(\displaystyle x+14\) | \(\displaystyle x+15\) | \(\displaystyle x+16\) | \(\displaystyle x+17\) |
| \(\displaystyle x+21\) | \(\displaystyle x+22\) | \(\displaystyle x+23\) | \(\displaystyle x+24\) |
A napsorszámok összege \(\displaystyle 16x + 192 = 198\), ami nem ad \(\displaystyle x\)-re egész megoldást.
Ennél nagyobb \(\displaystyle n\times n\)-es blokk esetén pedig a teljes hónapban már több, mint 31 nap lenne (mivel ekkor a jobb alsó napsorszám \(\displaystyle x+32\)), ami nyilván nem lehetséges.
Tehát a legkisebb napsorszám csak a 14 lehet.
Statisztika:
239 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 122 versenyző. 4 pontot kapott: 27 versenyző. 3 pontot kapott: 37 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 17 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 9 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai