A K/C. 742. feladat (2022. november)

K/C. 742. Dani most tanulja az angol ábécét, és el is mondta az első nyolc betűjét (A, B, C, D, E, F, G, H), csak némileg rossz sorrendben. A nyolc betűből csak ötöt mondott jól (annyiadik betűként, ahányadik az ABC-ben). Hány ilyen különböző sorrendje van ennek a nyolc betűnek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Öt betű jó helyen van. A három rossz pozíciójú betűt (hogy melyek azok, és milyen sorrendben helyezkednek el a három helyen) \(\displaystyle 8\cdot7\cdot6\)-féleképpen választhatjuk ki és írhatjuk le (egy közülük pl. az A-B-C), de ezek közül nem minden sorrend jó most nekünk: lesznek közöttük olyanok, melyekben valamelyik betű a saját pozíciójában szerepel. Például az A, B, C betűket hatféle sorrendben lehet kiválasztani, de a hat sorrendből csak kettő megfelelő (B-C-A és a C-A-B, mert az A-B-C, A-C-B, B-A-C, C-B-A sorrendekben van jó pozíciójú betű). Ugyanígy van a többi betűhármas esetén is, ezért a nekünk megfelelő betűsorrendek száma \(\displaystyle 8\cdot7\cdot6:3=112\).

Statisztika:

297 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	136 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	39 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	31 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai