 |
A K/C. 743. feladat (2022. november) |
K/C. 743. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle CD\) oldalának \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AE\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle G\), az \(\displaystyle EF\) szakasz \(\displaystyle E\)-hez közelebbi harmadolópontja pedig \(\displaystyle H\). Hányadrésze az \(\displaystyle FGH\) háromszög területe az \(\displaystyle ABCD\) téglalap területének?
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap oldalai \(\displaystyle AB=CD=a\) és \(\displaystyle BC=DA=b\), a téglalap területét jelöljük \(\displaystyle T\)-vel.
Jelöléseink a következő ábrán láthatók.
Mivel \(\displaystyle \displaystyle{T=a\cdot{b}}\) és \(\displaystyle \displaystyle{T_{ABE}=\frac{a\cdot{\frac{b}{2}}}{2}=\frac{a\cdot{b}}{4}=\frac{T}{4}}\), valamint \(\displaystyle \displaystyle{T_{ECF}=\frac{\frac{b}{2}\cdot{\frac{2a}{3}}}{2}=\frac{a\cdot{b}}{6}=\frac{T}{6}}\), továbbá \(\displaystyle \displaystyle{T_{FDA}=\frac{\frac{a}{3}\cdot{b}}{2}=\frac{a\cdot{b}}{6}=\frac{T}{6}}\), ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{T_{AEF}=T-\frac{T}{4}-2\cdot{\frac{T}{6}}=\frac{5T}{12}}.\) |
Az \(\displaystyle AEF\) háromszögben \(\displaystyle FG\) súlyvonal, ez felezi az \(\displaystyle AEF\) háromszög területét (hiszen \(\displaystyle \displaystyle{T_{EFG}=\frac{EG\cdot{FK}}{2}}\), illetve \(\displaystyle \displaystyle{T_{AFG}=\frac{AG\cdot{FK}}{2}}\) és \(\displaystyle EG=AG\)).
Ezt figyelembe véve (1) szerint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{T_{EFG}=\frac{5T}{24}}.\) |
A \(\displaystyle GH\) szakasz harmadolja az \(\displaystyle EFG\) háromszög területét, hiszen \(\displaystyle \displaystyle{T_{EGH}=\frac{EH\cdot{GL}}{2}}\), illetve \(\displaystyle \displaystyle{T_{FGH}=\frac{FH\cdot{GL}}{2}}\) és tudjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\frac{EH}{FH}=\frac{1}{2}}\).
Ebből a (2) összefüggést is felhasználva azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{T_{FGH}=\frac{2}{3}T_{EFG}=\frac{5T}{36}},\)
tehát az \(\displaystyle FGH\) háromszög területe az \(\displaystyle ABCD\) téglalap területének \(\displaystyle \displaystyle{\frac{5}{36}}\)-od része.
Statisztika:
215 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 109 versenyző. 4 pontot kapott: 29 versenyző. 3 pontot kapott: 23 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 17 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 5 dolgozat.
A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai