A K/C. 753. feladat (2023. január)

K/C. 753. Az \(\displaystyle A\) csúcsú szög egyik szárán lévő \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontokra, illetve a másik szárán lévő \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle I\) pontokra igaz, hogy \(\displaystyle AB=BG=GD=DI=IE=EH=HC=CF=FA\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CEH\) és az \(\displaystyle IGD\) háromszögek szabályosak.

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle A\) csúcsnál levő szöget \(\displaystyle \alpha\)-val. Az \(\displaystyle ACF\) egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle C\)-nél levő belső szöge is \(\displaystyle \alpha\), ezért \(\displaystyle AFC\sphericalangle=180^{\circ}-2\alpha\).

A \(\displaystyle HFC\sphericalangle=2\alpha\), mivel ez a szög az \(\displaystyle ACF\) háromszög külső szöge, és így az \(\displaystyle FHC\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle FHC\sphericalangle=2\alpha\), illetve

\(\displaystyle FCH\sphericalangle=180^{\circ}-4\alpha.\)

\(\displaystyle ECH\sphericalangle=3\alpha\), mert ez a szög az \(\displaystyle ACH\) háromszög külső szöge. Innen azonnal következik, hogy a \(\displaystyle CEH\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle CEH\sphericalangle=3\alpha\) és \(\displaystyle EHC\sphericalangle=180^{\circ}-6\alpha\).

Ebből és \(\displaystyle FHC\sphericalangle=2\alpha\)-ból következően az \(\displaystyle IHE\) egyenlő szárú háromszögben

\(\displaystyle IHE\sphericalangle=HIE\sphericalangle=4\alpha.\)

A \(\displaystyle BDG\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle DBG\sphericalangle=2\alpha\), mert ez a szög az \(\displaystyle AGB\) egyenlő szárú háromszög külső szöge, ezért \(\displaystyle BDG\sphericalangle=2\alpha\) és \(\displaystyle DGB\sphericalangle=180^{\circ}-4\alpha\) is teljesül.

Az \(\displaystyle AGB\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle BGA\sphericalangle=\alpha\), tehát \(\displaystyle DGB\sphericalangle+BGA\sphericalangle=180^{\circ}-3\alpha\), de akkor \(\displaystyle DGI\sphericalangle=3\alpha\), ennek következményeként pedig a \(\displaystyle IGD\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle DIG\sphericalangle=3\alpha\) is igaz.

Mivel előbb már beláttuk, hogy \(\displaystyle HIE\sphericalangle=4\alpha\), ezért előző eredményünkből

\(\displaystyle DIE\sphericalangle=\alpha\)

következik. Ebből adódik a \(\displaystyle DEI\) háromszögben, hogy \(\displaystyle EDI\sphericalangle=4\alpha\), hiszen ez a szög \(\displaystyle ADI\) háromszög külső szöge.

A \(\displaystyle DEI\) egyenlő szárú háromszög, ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle DEI\sphericalangle=4\alpha\)

is igaz. A \(\displaystyle DEI\) háromszög szögeinek összege tehát \(\displaystyle 4\alpha+4\alpha+\alpha=9\alpha=180^{\circ}\), ahonnan

\(\displaystyle \alpha=20^{\circ}.\)

A \(\displaystyle CEH\) egyenlő szárú háromszögben tehát \(\displaystyle CEH\sphericalangle=ECH\sphericalangle=3\alpha=60^{\circ}\), és így a háromszög \(\displaystyle H\) csúcshoz tartozó belső szöge is \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, vagyis a háromszög valóban szabályos.

Az \(\displaystyle IGD\) egyenlő szárú háromszögben pedig \(\displaystyle DIG\sphericalangle=DGI\sphericalangle=3\alpha=60^{\circ}\), eszerint ebben a háromszögben a \(\displaystyle D\) csúcsnál \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os belső szög van, ezért ez is szabályos háromszög.

Megjegyzés.

Könnyen bizonyítható, hogy az ábra az \(\displaystyle IAE\sphericalangle=\alpha\) szög szögfelezőjére szimmetrikus.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai