A K/C. 763. feladat (2023. március)

K/C. 763. Egy egységnyi sugarú félkörbe két olyan, az átmérőre illeszkedő négyzetet írunk, melyeknek van közös oldalszakasza, és egy-egy csúcsuk a körvonalra illeszkedik.

Tudjuk, hogy a kör középpontjából a két négyzet körön lévő csúcsaihoz húzott sugarak egymásra merőlegesek. Igazoljuk, hogy a két, ilyen módon megrajzolt négyzet területének összege állandó.

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. A négyzeteknek a félkörön levő csúcsait \(\displaystyle P\)-vel és \(\displaystyle Q\)-val jelöltük, ezeknek a pontoknak a félkör átmérőjére eső merőleges vetületei \(\displaystyle S\), illetve \(\displaystyle T\). A \(\displaystyle PS\) és \(\displaystyle QT\) szakaszok a négyzetek oldalai, ezeket \(\displaystyle a\)-val és \(\displaystyle b\)-vel, a kör középpontját \(\displaystyle K\)-val jelöltük.

1. ábra

A feladat megadja, hogy a két négyzetnek a félkörön lévő csúcsaihoz húzott sugarak egymásra merőlegesek. Az ábrán keletkező \(\displaystyle KPS\) és \(\displaystyle KQT\) derékszögű háromszögeknek a \(\displaystyle K\) csúcsnál levő hegyesszögei \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle 90^{\circ}-\alpha\), így a két háromszög hasonló, és egyúttal egybevágó is, mert átfogójukra teljesül, hogy \(\displaystyle KP=KQ=1\). Ezért a befogóik rendre megegyeznek, azaz \(\displaystyle KS=b\) és \(\displaystyle KT=a\).

Így a Pitagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle a^2+b^2=1.\)

A feltételeknek megfelelő négyzetek területének összege tehát valóban állandó és éppen a félkör egységnyi sugarának négyzetével egyenlő.

2. megoldás. Az 1. megoldás ábráját a \(\displaystyle KS=x\), illetve \(\displaystyle KT=y\) jelölésekkel egészítjük ki az alábbi ábra szerint.

2. ábra

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle KPS\) és \(\displaystyle KQT\) derékszögű háromszögekre (az átfogó mindkét háromszögben a félkör egységnyi sugarával egyenlő hosszúságú):

\(\displaystyle a^2+x^2=1,\)

\(\displaystyle b^2+y^2=1.\)

Tudjuk még, hogy

\(\displaystyle x+y=a+b,\)

és így

\(\displaystyle a^2+x^2=b^2+y^2,\)

\(\displaystyle a^2-b^2=y^2-x^2,\)

\(\displaystyle (a+b)(a-b)=(y+x)(y-x).\)

Innen az \(\displaystyle x+y=a+b\) alapján egyrészt

\(\displaystyle a-b=y-x,\)

másrészt az \(\displaystyle a-b=y-x\) és \(\displaystyle a+b=x+y\) megfelelő oldalait összeadva

\(\displaystyle 2a=2y,\)

ahonnan \(\displaystyle a=y\) és ezért \(\displaystyle b=x\) adódik.
Ebből az következik, hogy a két derékszögű háromszög egybevágó, a Pitagorasz-tételt felírva tehát

\(\displaystyle a^2+b^2=1.\)

Ezzel beláttuk, hogy a két négyzet területének összege állandó, és ez az állandó a félkör egységnyi sugarának négyzete.

3. megoldás. A négyzetek félkörön levő pontjait most is \(\displaystyle P\)-vel és \(\displaystyle Q\)-val, a megfelelő négyzetek oldalait \(\displaystyle a\)-val és \(\displaystyle b\)-vel, a félkör középpontját \(\displaystyle K\)-val jelöljük. Tükrözzük a félkört és a négyzeteket a félkör átmérőjének egyenesére, a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pont tükörképei legyenek \(\displaystyle P'\), illetve \(\displaystyle Q'\).

3. ábra

A feltétel szerint \(\displaystyle KP\perp{KQ}\), ezért a tükrözés tulajdonságaiból \(\displaystyle KP'\perp{KQ'}\) következik. Ugyancsak a tükrözés miatt kapjuk azt, hogy \(\displaystyle PQ'\perp{QP'}\), és \(\displaystyle KQ'\) a \(\displaystyle b\) oldalú négyzet tükörképének átlója, ezért

\(\displaystyle KQ'Q\sphericalangle=45^{\circ}.\)

A \(\displaystyle PQ\) húr tehát egy \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os kerületi szöghöz tartozó húr, így hossza a sugár \(\displaystyle \sqrt2\)-szöröse, azaz \(\displaystyle PQ=\sqrt{2}\).
Ebből a \(\displaystyle KPQ\) derékszögre felírt Pitagorasz-tétel segítségével kapjuk, hogy

\(\displaystyle \Big(a\sqrt{2}\Big)^2+\Big(b\sqrt{2}\Big)^2=\Big(\sqrt{2}\Big)^2,\)

hiszen \(\displaystyle KP=a\sqrt{2}\) és \(\displaystyle KQ=b\sqrt{2}\).
A műveletek elvégzésével és egyszerűsítéssel adódik, hogy

\(\displaystyle a^2+b^2=1.\)

Eszerint a két négyzet területének összege az egységnyi hosszúságú sugár négyzetével egyenlő, tehát valóban állandó.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai