A K/C. 787. feladat (2023. november)

K/C. 787. Hány metszéspontja lehet egy konvex tizenhatszög átlóinak, ha a metszéspontok mind különbözőek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Minden átlót azok az átlók metszenek el, amelyeknek a végpontjait az átló elválasztja.

Válasszunk ki egy csúcsot és nézzük meg, hogy az innen induló átlókon hány metszéspont lehet. $\displaystyle 13$ átló indul ebből a csúcsból, a metszéspontok száma szerint hétféle, a főátlón kívül $\displaystyle 6$-$\displaystyle 6$ db ugyanolyan típusú.

Az egyes átlókon a metszéspontok maximális számát megkapjuk, ha az elválasztott csúcsok számát összeszorozzuk. Az ábrán a jelölt csúcsból induló egyik átlón keletkezik $\displaystyle 5$–$\displaystyle 9$ metszéspont.

A jelölt csúcsból induló átlókon legfeljebb

$\displaystyle 1\cdot13+2\cdot12+3\cdot11+4\cdot10+5\cdot9+6\cdot8+7\cdot7+8\cdot6+9\cdot5+10\cdot4+11\cdot3+12\cdot2+13\cdot1=455$

metszéspont lehet összesen.

Ez mind a 16 csúcsnál így van és ekkor minden vizsgált átlót mindkét végpontjából, tehát kétszer számoltunk, valamint a metszéspontokat is kétszer számoltuk, így a metszéspontok száma legfeljebb

$\displaystyle 455\cdot16:2:2=1820.$

2. megoldás. Bármely négy csúcs meghatároz egy konvex négyszöget, melynek átlói a szokszögnek is átlói és metszik egymást. Így az átlók metszéspontjai és a csúcsnégyesek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van. Vagyis annyi metszéspont lehetséges, ahányféleképpen a 16 csúcs közül négyet kiválaszthatunk.

Így legfeljebb $\displaystyle \binom{16}{4}=1820$ metszéspontja lehet az átlóknak.

Statisztika:

198 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	74 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	44 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai