 |
A K/C. 787. feladat (2023. november) |
K/C. 787. Hány metszéspontja lehet egy konvex tizenhatszög átlóinak, ha a metszéspontok mind különbözőek?
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
1. megoldás. Minden átlót azok az átlók metszenek el, amelyeknek a végpontjait az átló elválasztja.
Válasszunk ki egy csúcsot és nézzük meg, hogy az innen induló átlókon hány metszéspont lehet. \(\displaystyle 13\) átló indul ebből a csúcsból, a metszéspontok száma szerint hétféle, a főátlón kívül \(\displaystyle 6\)-\(\displaystyle 6\) db ugyanolyan típusú.
Az egyes átlókon a metszéspontok maximális számát megkapjuk, ha az elválasztott csúcsok számát összeszorozzuk. Az ábrán a jelölt csúcsból induló egyik átlón keletkezik \(\displaystyle 5\)–\(\displaystyle 9\) metszéspont.
A jelölt csúcsból induló átlókon legfeljebb
\(\displaystyle 1\cdot13+2\cdot12+3\cdot11+4\cdot10+5\cdot9+6\cdot8+7\cdot7+8\cdot6+9\cdot5+10\cdot4+11\cdot3+12\cdot2+13\cdot1=455\)
metszéspont lehet összesen.
Ez mind a 16 csúcsnál így van és ekkor minden vizsgált átlót mindkét végpontjából, tehát kétszer számoltunk, valamint a metszéspontokat is kétszer számoltuk, így a metszéspontok száma legfeljebb
\(\displaystyle 455\cdot16:2:2=1820.\)
2. megoldás. Bármely négy csúcs meghatároz egy konvex négyszöget, melynek átlói a szokszögnek is átlói és metszik egymást. Így az átlók metszéspontjai és a csúcsnégyesek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van. Vagyis annyi metszéspont lehetséges, ahányféleképpen a 16 csúcs közül négyet kiválaszthatunk.
Így legfeljebb \(\displaystyle \binom{16}{4}=1820\) metszéspontja lehet az átlóknak.
Statisztika:
198 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 74 versenyző. 4 pontot kapott: 13 versenyző. 3 pontot kapott: 29 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 44 dolgozat.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai