A K/C. 792. feladat (2023. december)

K/C. 792. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle 1+2+3+ \ldots+n\) összeg utolsó számjegye nem lehet a 2, 4, 7, 9 számjegyek egyike sem.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk fel az \(\displaystyle \displaystyle{1+2+3+\ldots+n =\frac{n(n+1)}{2}}\) összefüggést.
Ha ez az összeg 2, 4, 7 vagy 9-re végződne, akkor az \(\displaystyle n(n+1)\) szorzat 4-re vagy 8-ra végződne. Két egymást követő szám szorzatának utolsó számjegyét az utolsó számjegyeik szorzatának végződése adja meg. A \(\displaystyle 0\cdot1\), \(\displaystyle 1\cdot2\), \(\displaystyle 2\cdot3\), \(\displaystyle 3\cdot4\), \(\displaystyle 4\cdot5\), \(\displaystyle 5\cdot6\), \(\displaystyle 6\cdot7\), \(\displaystyle 7\cdot8\), \(\displaystyle 8\cdot9\), \(\displaystyle 9\cdot0\) szorzatok utolsó számjegye rendre 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, így nem kaphatunk 4 vagy 8 végződést. Tehát a feladat állítása igaz.

Statisztika:

227 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	129 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	52 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai