A K/C. 792. feladat (2023. december)

K/C. 792. Legyen $\displaystyle n$ pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle 1+2+3+ \ldots+n$ összeg utolsó számjegye nem lehet a 2, 4, 7, 9 számjegyek egyike sem.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk fel az $\displaystyle \displaystyle{1+2+3+\ldots+n =\frac{n(n+1)}{2}}$ összefüggést.
Ha ez az összeg 2, 4, 7 vagy 9-re végződne, akkor az $\displaystyle n(n+1)$ szorzat 4-re vagy 8-ra végződne. Két egymást követő szám szorzatának utolsó számjegyét az utolsó számjegyeik szorzatának végződése adja meg. A $\displaystyle 0\cdot1$, $\displaystyle 1\cdot2$, $\displaystyle 2\cdot3$, $\displaystyle 3\cdot4$, $\displaystyle 4\cdot5$, $\displaystyle 5\cdot6$, $\displaystyle 6\cdot7$, $\displaystyle 7\cdot8$, $\displaystyle 8\cdot9$, $\displaystyle 9\cdot0$ szorzatok utolsó számjegye rendre 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, így nem kaphatunk 4 vagy 8 végződést. Tehát a feladat állítása igaz.

Statisztika:

227 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	129 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	52 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai