A K/C. 803. feladat (2024. február)

K/C. 803. Egy táborban $\displaystyle 24$ gyerek kivételével mindenki egyke (nincs testvére), $\displaystyle 18$ gyerek kivételével mindenkinek egy testvére van, $\displaystyle 14$ gyerek kivételével pedig mindenkinek két testvére van. Hányan lehetnek azok ebben a táborban, akiknek $\displaystyle 2$-nél több testvérük van, ha tudjuk, hogy van legalább egy egyke, és mindenkinek az összes testvére is ott nyaral a táborban?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr), Korándi József (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Legyen a táborozók létszáma $\displaystyle x$, ekkor az egykék száma $\displaystyle x-24 \ge 1$, azaz $\displaystyle x \ge 25$. Az egy testvérrel rendelkezők száma $\displaystyle x-18$, a két testvérrel rendelkezők száma $\displaystyle x-14$, és együtt legfeljebb annyian vannak, mint a teljes létszám, tehát $\displaystyle x-24+x-18+x-14 \le x$. Rendezzük az egyenlőtlenséget: $\displaystyle 2x \le 56$, így $\displaystyle x \le 28.$ Ezt a fentiekkel összevetve kapjuk, hogy $\displaystyle x$ értéke $\displaystyle 25$, $\displaystyle 26$, $\displaystyle 27$ vagy $\displaystyle 28$, ennek megfelelően az alábbi eseteket vizsgáljuk.

1. eset. Ha $\displaystyle x=25$, akkor $\displaystyle 25-18=7$ táborozónak lenne egy testvére, de mivel mindenkinek a testvére is táborlakó, ők páros létszámban kell hogy legyenek, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

2. eset. Ha $\displaystyle x=26$, akkor $\displaystyle 26-24=2$ táborozónak nincsen testvére, $\displaystyle 26-18=8$ táborozónak egy, $\displaystyle 26-14=12$ táborozónak pedig két testvére van. Ez lehetséges, hiszen teljesül, hogy az egy testvérrel rendelkezők párosával, a két testvérrel rendelkezők pedig hármasával táboroznak. Már csak azt kell megnéznünk, hogy a $\displaystyle 2$-nél több testvérrel rendelkezők hányan vannak, mert nyilván $\displaystyle 3$-nál többen kell lenniük, ami teljesül is, hiszen a létszámuk $\displaystyle 26-2-8-12=4$. Ebben az esetben helyes megoldást kaptunk.

3. eset. Ha $\displaystyle x=27$, akkor $\displaystyle 27-18=9$ táborozónak lenne egy testvére, azaz nem teljesül, hogy párosával vannak, tehát nem kapunk megoldást.

4. eset. Ha $\displaystyle x=28$, akkor $\displaystyle 28-14=14$ táborozónak lenne két testvére. Mivel a $\displaystyle 14$ nem osztható $\displaystyle 3$-mal, nem lehetnének hármasával a két testvérrel rendelkező táborlakók, tehát nem kapunk megoldást.

Több eset nincs, ezért a táborban $\displaystyle 4$ olyan gyerek van, akinek $\displaystyle 2$-nél több testvére van.

2. megoldás. Jelölje $\displaystyle e$ az egytestvéres gyerekek számát, $\displaystyle k$ a kéttestvéres gyerekek számát, $\displaystyle t$ a kettőnél több testvéres gyerekek számát és $\displaystyle n$ a testvér nélküli gyerekek számát.

Ekkor a feladat szövege alapján

(1) $\displaystyle e+k+t=24,$

(2) $\displaystyle n+k+t=18,$

(3) $\displaystyle n+e+t=14.$

Az (1) és (2) egyenlőségekből következik, hogy $\displaystyle n+24-e=18$, amiből

(4) $\displaystyle e=n+6$.

Az (1) és (3) egyenlőségből $\displaystyle n+24-k=14$, amiből

(5) $\displaystyle k=n+10$.

Az (1) egyenletbe a (4) és (5) alapján $\displaystyle e$-t és $\displaystyle k$-t behelyettesítve $\displaystyle (n+6)+(n+10)+t=24$, amiből

$\displaystyle 2n+t=8$

Mivel $\displaystyle n$ értéke a feladat szerint legalább egy és $\displaystyle t$ értéke nem negatív, így $\displaystyle n$ csak $\displaystyle 1, 2, 3$ vagy $\displaystyle 4$ lehet.

Ha $\displaystyle n=1$, akkor $\displaystyle t=6$, ha $\displaystyle n=2$, akkor $\displaystyle t=4$, ha $\displaystyle n=3$, akkor $\displaystyle t=2$, ha $\displaystyle n=4$, akkor $\displaystyle t=0$.

(i) $\displaystyle n=1$ esetén $\displaystyle e=7$, $\displaystyle k=11$ és $\displaystyle t=6$,

(ii) $\displaystyle n=2$ esetén $\displaystyle e=8$, $\displaystyle k=12$ és $\displaystyle t=4$,

(iii) $\displaystyle n=3$ esetén $\displaystyle e=9$, $\displaystyle k=13$ és $\displaystyle t=2$,

(iv) $\displaystyle n=4$ esetén $\displaystyle e=10$, $\displaystyle k=14$ és $\displaystyle t=0$.

Ezek mind eleget tesznek az (1), (2) és (3) feltételeinek.

Mivel mindenkinek a testvérei is ott táboroznak, ezért $\displaystyle e$ csak páros, $\displaystyle k$ csak 3-mal osztható, $\displaystyle t$ pedig csak $\displaystyle 3$-nál nagyobb lehet. Vagyis csak a (ii) eset lehetséges, azaz a feladatnak egy megoldása van, a táborban $\displaystyle 4$-en vannak, akiknek $\displaystyle 2$-nél több testvérük van.

Statisztika:

147 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	32 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai