A K/C. 808. feladat (2024. március)

K/C. 808. Egy valós szám és reciproka összegének négyzete $\displaystyle 5$.

$\displaystyle a)$ Határozzuk meg a szám négyzetének és négyzete reciprokának összegét a szám kiszámítása nélkül.

$\displaystyle b)$ Határozzuk meg a szám köbének és köbe reciprokának összegét a szám kiszámítása nélkül.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ $\displaystyle \displaystyle{\Big(x + \frac{1}{x}\Big)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}}$, azaz $\displaystyle \displaystyle{x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5}$, ahonnan

$\displaystyle \displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} = 3}.$

A feladatban szereplő $\displaystyle x$ valós szám létezik, hiszen a feltételből $\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}}$, vagy $\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=-\sqrt{5}}$, és az ezekből kapott

$\displaystyle x^2-\sqrt{5}x+1=0,$

illetve

$\displaystyle x^2+\sqrt{5}x+1=0$

egyenleteknek van valós megoldása, mivel mindkettő diszkriminánsa $\displaystyle D=5-4=1$, ami nagyobb, mint $\displaystyle 0$.

$\displaystyle b)$ Mivel $\displaystyle \displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} = 3}$, ezért $\displaystyle \Big(\displaystyle{x + \frac{1}{x}\Big)\cdot 3 = \Big(x +\frac{1}{x}\Big)\Big(x^2 +\frac{1}{x^2}\Big)=x^3+\frac{1}{x^3}+x+\frac{1}{x}}$.

Az egyenlőség két szélét összehasonlítva

$\displaystyle \Big(\displaystyle{x + \frac{1}{x}\Big)\cdot 2 = x^3+\frac{1}{x^3}},$

amiből

$\displaystyle \displaystyle{x^3 + \frac{1}{x^3} =2\cdot \sqrt{5}} \qquad\text{vagy}\qquad \displaystyle{x^3 + \frac{1}{x^3} =-2\cdot \sqrt{5}}.$

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Auer Sára, Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Budai Máté, Danka Emma, Derűs Ádám , Domján István, Farkas Simon, Ferecskó Máté, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Hajnal Ákos Huba, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Jurácsik Marcell, Kókai Ákos, Komlósdi Sára, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nelissen Sámuel Zalán, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Sipos Márton, Szedmák Szabrina, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin, Válek Péter, Varga 511 Vivien, Viczián Adél, Zólyomi Csongor.
4 pontot kapott:	45 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	38 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai