Problem K/C. 812. (April 2024)
K/C. 812. Number \(\displaystyle 2024\) has the property that exactly one of its digits (namely the 0) is a multiple of its every other digit. How many four-digit positive integers have at least two such digits?
Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ismert tétel, hogy ha \(\displaystyle a\) osztója \(\displaystyle b\)-nek és \(\displaystyle b\) osztója \(\displaystyle a\)-nak, akkor \(\displaystyle a=b\), ezért nem lehet a szám összes számjegye különböző, azaz vannak benne azonos számjegyek. Az azonos számjegyek száma alapján esetvizsgálatot végzünk.
1. eset. Ha mind a négy számjegy megegyezik, akkor mindegyik mindegyiknek többszöröse, azaz minden ilyen négyjegyű szám megfelelő. Ez \(\displaystyle 9\) darab számot jelent.
2. eset. Ha pontosan három egyforma számjegye van a számnak, akkor azok többszörösei egymásnak, valamint a negyedik számjegynek is többszörösei kell hogy legyenek.
Három \(\displaystyle 0\) mellé bármelyik másik számjegyet választhatjuk első számjegynek, ez \(\displaystyle 9\) négyjegyű számot eredményez.
Három \(\displaystyle 1\)-es mellé nem lehet eltérő számjegyet írni.
Ha a három egyforma számjegy prímszám, akkor melléjük kizárólag az egyest választhatjuk, amelyet bármelyik helyiértékre írhatunk, így minden prím számjegy esetén \(\displaystyle 4\) megfelelő számot kapunk. Mivel \(\displaystyle 4\) darab \(\displaystyle 10\)-nél kisebb pozitív prímszám van, ezért \(\displaystyle 4 \cdot 4=16\) ilyen szám van.
Ha a három, \(\displaystyle 0\)-nál nagyobb egyforma számjegy összetett szám, akkor a nála kisebb pozitív osztók megfelelnek a feltételeknek. Három darab \(\displaystyle 4\)-es mellé választhatunk \(\displaystyle 1\)-est vagy \(\displaystyle 2\)-est, ezek bármelyik helyiértékre kerülhetnek, így \(\displaystyle 2 \cdot 4=8\) megfelelő szám van. A \(\displaystyle 6\)-osok mellé az \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 2\); \(\displaystyle 3\) bármelyike kerülhet, ez \(\displaystyle 3 \cdot 4=12\) négyjegyű számot jelent. A \(\displaystyle 8\)-asok mellé az \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 2\); \(\displaystyle 4\) valamelyike kerülhet, ez szintén \(\displaystyle 3 \cdot 4=12\) négyjegyű számot jelent. A \(\displaystyle 9\)-esek mellé az \(\displaystyle 1\) vagy a \(\displaystyle 3\) kerülhet, ez \(\displaystyle 2 \cdot 4=8\) négyjegyű számot jelent.
Összesen \(\displaystyle 9+16+8+12+12+8=65\) ilyen szám van.
3. eset. Most vizsgáljuk azokat a számokat, amelyeknek \(\displaystyle 2-2\) egyforma számjegyük van.
Két darab \(\displaystyle 0\) mellé bármelyik \(\displaystyle 0\)-tól különböző számjegyet választhatjuk a másik két számjegynek. Az egyik biztosan az első számjegy, a másik \(\displaystyle 3\)-féleképpen helyezkedhet el, így \(\displaystyle 9 \cdot 3=27\) darab ilyen szám van.
Két darab \(\displaystyle 1\)-es \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen helyezkedhet el és melléjük bármelyik \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb számjegyet választhatjuk (hiszen a két \(\displaystyle 0\)-t tartalmazókat már előzőleg megszámoltuk). Ez \(\displaystyle 6 \cdot 8=48\) darab szám.
Két \(\displaystyle 2\)-es mellé \(\displaystyle 4\)-esek, \(\displaystyle 6\)-osok vagy \(\displaystyle 8\)-asok kerülhetnek, ez \(\displaystyle 6 \cdot 3=18\) szám. Ha két darab \(\displaystyle 3\)-ast tartalmaz a szám, akkor mellettük \(\displaystyle 6\)-osok, vagy \(\displaystyle 9\)-esek lehetnek, így \(\displaystyle 6 \cdot 2=12\) ilyen szám van.
Két darab \(\displaystyle 4\)-es mellé pedig csak két darab \(\displaystyle 8\)-as kerülhet, mert a \(\displaystyle 4\)-nél kisebb számjegyek már előzőleg megszámlálásra kerültek, így ez még \(\displaystyle 6\) darab számot jelent.
Összesen \(\displaystyle 27+48+18+12+6=111\) darab ilyen szám van.
4. eset. Végül azt a lehetőséget vizsgáljuk, amikor pontosan két egyforma számjegy van, a másik kettő pedig egymástól és a két egyformától is különbözik. A két egyforma számjegy csak olyan szám lehet, amelynek \(\displaystyle 2\)-nél több pozitív osztója van, azaz \(\displaystyle 0\); \(\displaystyle 4\); \(\displaystyle 6\) vagy \(\displaystyle 9\).
Ha két \(\displaystyle 0\) van, akkor azok az utolsó három helyiértéken \(\displaystyle 3\)-féleképpen helyezkedhetnek el. Ekkor az első számjegy bármelyik nemnulla számjegy lehet, a másik pedig bármelyik tőle különböző számjegy. Ilyen számból \(\displaystyle 3 \cdot 9 \cdot 8=216\) darab van.
Ha két \(\displaystyle 4\)-es van, akkor azok \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen helyezkedhetnek el, mellettük csak egy \(\displaystyle 2\)-es és egy \(\displaystyle 1\)-es lehet a maradék két helyen kétféle sorrendben, így \(\displaystyle 6 \cdot 2=12\) ilyen számot találtunk.
Ugyanez igaz a két \(\displaystyle 9\)-esre, hiszen melléjük egy \(\displaystyle 3\)-as és egy \(\displaystyle 1\)-es kerülhet, ez még \(\displaystyle 12\) darab megfelelő szám.
Két darab \(\displaystyle 6\)-os mellett \(\displaystyle 1\)-es és \(\displaystyle 2\)-es; vagy \(\displaystyle 1\)-es és \(\displaystyle 3\)-as; vagy \(\displaystyle 2\)-es és \(\displaystyle 3\)-as lehet bármilyen sorrendben, így ilyen számból \(\displaystyle 3 \cdot 6 \cdot 2=36\) van.
Ha pedig két \(\displaystyle 8\)-as van, akkor mellettük \(\displaystyle 1\)-es, \(\displaystyle 2\)-es; vagy \(\displaystyle 1\)-es, \(\displaystyle 4\)-es; vagy \(\displaystyle 2\)-es és \(\displaystyle 4\)-es szerepelhet bármilyen sorrendben, ami szintén \(\displaystyle 36\) darab szám.
Ebben az esetben \(\displaystyle 216+12+12+36+36=312\) számot találtunk.
Több eset nincs, így a feltételeknek megfelelő pozitív, négyjegyű számból összesen \(\displaystyle 9+65+111+312=497\) darab van.
Statistics:
116 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Domján István, Farkas Noémi , Fülöp Magdaléna, Gyöngyösi Dorottya, Gyulai Dorka, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Magyar Levente Árpád, Mateas Isabelle, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Móricz Zsombor, Nelissen Sámuel Zalán, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Szabó András, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Timár Vince , Tóth 207 Bence, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos. 4 points: Ai Le, Danka Emma, Derűs Ádám , Kóródy Vera, Kökény Kristóf, Kun Petra, Szabó 926 Bálint, Viczián Adél. 3 points: 7 students. 2 points: 8 students. 1 point: 13 students. 0 point: 14 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 26 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024