A K/C. 812. feladat (2024. április)

K/C. 812. A $\displaystyle 2024$-nek pontosan egy olyan számjegye van (nevezetesen a 0), amely minden számjegyének többszöröse. Hány olyan négyjegyű, pozitív egész szám van, amelynek legalább két ilyen számjegye van?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert tétel, hogy ha $\displaystyle a$ osztója $\displaystyle b$-nek és $\displaystyle b$ osztója $\displaystyle a$-nak, akkor $\displaystyle a=b$, ezért nem lehet a szám összes számjegye különböző, azaz vannak benne azonos számjegyek. Az azonos számjegyek száma alapján esetvizsgálatot végzünk.

1. eset. Ha mind a négy számjegy megegyezik, akkor mindegyik mindegyiknek többszöröse, azaz minden ilyen négyjegyű szám megfelelő. Ez $\displaystyle 9$ darab számot jelent.

2. eset. Ha pontosan három egyforma számjegye van a számnak, akkor azok több­szörösei egymásnak, valamint a negyedik számjegynek is többszörösei kell hogy legyenek.

Három $\displaystyle 0$ mellé bármelyik másik számjegyet választhatjuk első számjegynek, ez $\displaystyle 9$ négyjegyű számot eredményez.

Három $\displaystyle 1$-es mellé nem lehet eltérő számjegyet írni.

Ha a három egyforma szám­jegy prímszám, akkor melléjük kizárólag az egyest választhatjuk, amelyet bármelyik helyiértékre írhatunk, így minden prím számjegy esetén $\displaystyle 4$ megfelelő számot kapunk. Mivel $\displaystyle 4$ darab $\displaystyle 10$-nél kisebb pozitív prímszám van, ezért $\displaystyle 4 \cdot 4=16$ ilyen szám van.

Ha a három, $\displaystyle 0$-nál nagyobb egyforma számjegy összetett szám, akkor a nála kisebb pozitív osztók megfelelnek a feltételeknek. Három darab $\displaystyle 4$-es mellé választhatunk $\displaystyle 1$-est vagy $\displaystyle 2$-est, ezek bármelyik helyiértékre kerülhetnek, így $\displaystyle 2 \cdot 4=8$ megfelelő szám van. A $\displaystyle 6$-osok mellé az $\displaystyle 1$; $\displaystyle 2$; $\displaystyle 3$ bármelyike kerülhet, ez $\displaystyle 3 \cdot 4=12$ négyjegyű számot jelent. A $\displaystyle 8$-asok mellé az $\displaystyle 1$; $\displaystyle 2$; $\displaystyle 4$ valamelyike kerülhet, ez szintén $\displaystyle 3 \cdot 4=12$ négyjegyű számot jelent. A $\displaystyle 9$-esek mellé az $\displaystyle 1$ vagy a $\displaystyle 3$ kerülhet, ez $\displaystyle 2 \cdot 4=8$ négyjegyű számot jelent.

Összesen $\displaystyle 9+16+8+12+12+8=65$ ilyen szám van.

3. eset. Most vizsgáljuk azokat a számokat, amelyeknek $\displaystyle 2-2$ egyforma számjegyük van.

Két darab $\displaystyle 0$ mellé bármelyik $\displaystyle 0$-tól különböző számjegyet választhatjuk a másik két számjegynek. Az egyik biztosan az első számjegy, a másik $\displaystyle 3$-féleképpen helyezkedhet el, így $\displaystyle 9 \cdot 3=27$ darab ilyen szám van.

Két darab $\displaystyle 1$-es $\displaystyle \binom{4}{2}=6$-féleképpen helyezkedhet el és melléjük bármelyik $\displaystyle 1$-nél nagyobb számjegyet választhatjuk (hiszen a két $\displaystyle 0$-t tartalmazókat már előzőleg megszámoltuk). Ez $\displaystyle 6 \cdot 8=48$ darab szám.

Két $\displaystyle 2$-es mellé $\displaystyle 4$-esek, $\displaystyle 6$-osok vagy $\displaystyle 8$-asok kerülhetnek, ez $\displaystyle 6 \cdot 3=18$ szám. Ha két darab $\displaystyle 3$-ast tartalmaz a szám, akkor mellettük $\displaystyle 6$-osok, vagy $\displaystyle 9$-esek lehetnek, így $\displaystyle 6 \cdot 2=12$ ilyen szám van.

Két darab $\displaystyle 4$-es mellé pedig csak két darab $\displaystyle 8$-as kerülhet, mert a $\displaystyle 4$-nél kisebb számjegyek már előzőleg megszámlálásra kerültek, így ez még $\displaystyle 6$ darab számot jelent.

Összesen $\displaystyle 27+48+18+12+6=111$ darab ilyen szám van.

4. eset. Végül azt a lehetőséget vizsgáljuk, amikor pontosan két egyforma számjegy van, a másik kettő pedig egymástól és a két egyformától is különbözik. A két egyforma számjegy csak olyan szám lehet, amelynek $\displaystyle 2$-nél több pozitív osztója van, azaz $\displaystyle 0$; $\displaystyle 4$; $\displaystyle 6$ vagy $\displaystyle 9$.

Ha két $\displaystyle 0$ van, akkor azok az utolsó három helyiértéken $\displaystyle 3$-féleképpen helyezkedhetnek el. Ekkor az első számjegy bármelyik nemnulla számjegy lehet, a másik pedig bármelyik tőle különböző számjegy. Ilyen számból $\displaystyle 3 \cdot 9 \cdot 8=216$ darab van.

Ha két $\displaystyle 4$-es van, akkor azok $\displaystyle \binom{4}{2}=6$-féleképpen helyezkedhetnek el, mellettük csak egy $\displaystyle 2$-es és egy $\displaystyle 1$-es lehet a maradék két helyen kétféle sorrendben, így $\displaystyle 6 \cdot 2=12$ ilyen számot találtunk.

Ugyanez igaz a két $\displaystyle 9$-esre, hiszen melléjük egy $\displaystyle 3$-as és egy $\displaystyle 1$-es kerülhet, ez még $\displaystyle 12$ darab megfelelő szám.

Két darab $\displaystyle 6$-os mellett $\displaystyle 1$-es és $\displaystyle 2$-es; vagy $\displaystyle 1$-es és $\displaystyle 3$-as; vagy $\displaystyle 2$-es és $\displaystyle 3$-as lehet bármilyen sorrendben, így ilyen számból $\displaystyle 3 \cdot 6 \cdot 2=36$ van.

Ha pedig két $\displaystyle 8$-as van, akkor mellettük $\displaystyle 1$-es, $\displaystyle 2$-es; vagy $\displaystyle 1$-es, $\displaystyle 4$-es; vagy $\displaystyle 2$-es és $\displaystyle 4$-es szerepelhet bármilyen sorrendben, ami szintén $\displaystyle 36$ darab szám.

Ebben az esetben $\displaystyle 216+12+12+36+36=312$ számot találtunk.

Több eset nincs, így a feltételeknek megfelelő pozitív, négyjegyű számból összesen $\displaystyle 9+65+111+312=497$ darab van.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Domján István, Farkas Noémi , Fülöp Magdaléna, Gyöngyösi Dorottya, Gyulai Dorka, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Magyar Levente Árpád, Mateas Isabelle, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Móricz Zsombor, Nelissen Sámuel Zalán, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Szabó András, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Timár Vince , Tóth 207 Bence, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos.
4 pontot kapott:	Ai Le, Danka Emma, Derűs Ádám , Kóródy Vera, Kökény Kristóf, Kun Petra, Szabó 926 Bálint, Viczián Adél.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	26 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai