Problem K/C. 817. (May 2024)

K/C. 817. There are four pieces of paper in a box, and a positive number is written on each of them. We choose some of them from the box in all possible ways, and take the sum of the numbers on the papers. (If we choose a single piece of paper, we take the number that is written on the paper.) Find the numbers written on the papers, if the sums are always consecutive integer numbers.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a számokat \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) és tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c<d\) (egyenlők nem lehetnek a feltétel miatt.) Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle a+b\), \(\displaystyle a+c\), \(\displaystyle a+d\), \(\displaystyle b+c\), \(\displaystyle b+d\), \(\displaystyle c+d\), \(\displaystyle a+b+c\), \(\displaystyle a+b+d\), \(\displaystyle a+c+d\), \(\displaystyle b+c+d\), \(\displaystyle a+b+c+d\) valamilyen sorrendben tizenöt különböző szomszédos egész szám. Kiderült, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) egész számok. A tizenöt összeg közül a legkisebb \(\displaystyle a\) és a legnagyobb \(\displaystyle a+b+c+d\), így \(\displaystyle b+c+d =14\) lehet csak.

Ha \(\displaystyle b+c+d =14\), akkor \(\displaystyle a+b+c+d =15\) lehet csak, mert ez a két legnagyobb érték, azaz \(\displaystyle a=1\). A tizenöt összegből így már biztosan lesznek szomszédosak, pl. \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle b+1\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle c+1\), \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle d+1\), ...

Ezt beírva adódik az első öt érték nagyságrendi sorrendje: \(\displaystyle 1< b<b+1<c<c+1\), ahonnan \(\displaystyle b=2\) és \(\displaystyle c=4\), és így \(\displaystyle d=14-(2+4)=8\).

A négy szám tehát: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\), ami valóban megfelelő.

(Az összegek: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1+2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 4+1\), \(\displaystyle 4+2\), \(\displaystyle 4+2+1\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 8+1\), \(\displaystyle 8+2\), \(\displaystyle 8+2+1\), \(\displaystyle 8+4\), \(\displaystyle 8+4+1\), \(\displaystyle 8+4+2\), \(\displaystyle 8+4+2+1\).)

Statistics:

99 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Csáki Anikó, Danka Emma, Domján István, Farkas Simon, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gyöngyösi Dorottya, Hajnal Ákos Huba, Hetyei Dániel, Hollósi Dominik, Juhász Zsombor, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Kun Petra, Li Mingdao, Máté Kristóf, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Németh Ábel, Olajos Anna, Ördög Dominik, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szabó Medárd, Tóth Luca, Vadkerti Vince, Válek Péter, Viczián Adél.
4 points:	Barna 201 Krisztina, Beinschroth Máté, Kókai Ákos, Mezei Kamilla , Mizsei Márton, Rasztgyörgy Jázmin, Sipos Dániel Sándor, Szabó András, Szalóki Árpád, Tamás Attila Gábor, Török Borbála .
3 points:	12 students.
2 points:	11 students.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	20 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024