A K/C. 817. feladat (2024. május)

K/C. 817. Egy dobozban van négy papírcetli, amelyek mindegyikére egy-egy pozitív számot írtunk. Kihúzunk valahány cetlit, majd a rajtuk lévő számokat összeadjuk. (Ha egy cetlit húzunk ki, akkor azt a számot vesszük, amely a cetlin van.) Ezt az összes lehetséges módon megcsináljuk. Milyen számok vannak a cetlikre írva, ha az így kapott eredmények mind egymást követő egész számok?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a számokat \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) és tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c<d\) (egyenlők nem lehetnek a feltétel miatt.) Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle a+b\), \(\displaystyle a+c\), \(\displaystyle a+d\), \(\displaystyle b+c\), \(\displaystyle b+d\), \(\displaystyle c+d\), \(\displaystyle a+b+c\), \(\displaystyle a+b+d\), \(\displaystyle a+c+d\), \(\displaystyle b+c+d\), \(\displaystyle a+b+c+d\) valamilyen sorrendben tizenöt különböző szomszédos egész szám. Kiderült, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) egész számok. A tizenöt összeg közül a legkisebb \(\displaystyle a\) és a legnagyobb \(\displaystyle a+b+c+d\), így \(\displaystyle b+c+d =14\) lehet csak.

Ha \(\displaystyle b+c+d =14\), akkor \(\displaystyle a+b+c+d =15\) lehet csak, mert ez a két legnagyobb érték, azaz \(\displaystyle a=1\). A tizenöt összegből így már biztosan lesznek szomszédosak, pl. \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle b+1\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle c+1\), \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle d+1\), ...

Ezt beírva adódik az első öt érték nagyságrendi sorrendje: \(\displaystyle 1< b<b+1<c<c+1\), ahonnan \(\displaystyle b=2\) és \(\displaystyle c=4\), és így \(\displaystyle d=14-(2+4)=8\).

A négy szám tehát: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\), ami valóban megfelelő.

(Az összegek: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1+2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 4+1\), \(\displaystyle 4+2\), \(\displaystyle 4+2+1\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 8+1\), \(\displaystyle 8+2\), \(\displaystyle 8+2+1\), \(\displaystyle 8+4\), \(\displaystyle 8+4+1\), \(\displaystyle 8+4+2\), \(\displaystyle 8+4+2+1\).)

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Csáki Anikó, Danka Emma, Domján István, Farkas Simon, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gyöngyösi Dorottya, Hajnal Ákos Huba, Hetyei Dániel, Hollósi Dominik, Juhász Zsombor, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Kun Petra, Li Mingdao, Máté Kristóf, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Németh Ábel, Olajos Anna, Ördög Dominik, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szabó Medárd, Tóth Luca, Vadkerti Vince, Válek Péter, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Barna 201 Krisztina, Beinschroth Máté, Kókai Ákos, Mezei Kamilla , Mizsei Márton, Rasztgyörgy Jázmin, Sipos Dániel Sándor, Szabó András, Szalóki Árpád, Tamás Attila Gábor, Török Borbála .
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	20 dolgozat.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai