Problem K/C. 818. (May 2024)
K/C. 818. In the right triangle \(\displaystyle ABC\) the lengths of the legs are \(\displaystyle BC=6\) and \(\displaystyle CA=8\). Let \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\) denote the trisection point closer to \(\displaystyle B\) and the midpoint of leg \(\displaystyle BC\), respectively, let \(\displaystyle R\) and \(\displaystyle S\) denote the trisection point closer to \(\displaystyle C\) and the midpoint of leg \(\displaystyle CA\), respectively, and finally let \(\displaystyle T\) and \(\displaystyle U\) denote the trisection point closer to \(\displaystyle A\) and the midpoint of hypotenuse \(\displaystyle AB\), respectively. Reflect trisection points \(\displaystyle P\), \(\displaystyle R\) and \(\displaystyle T\) across the other endpoints of the respective sides according to the diagram.
Find the area of polygon \(\displaystyle P'U'R'Q'T'S'\).
Proposed by: Bíró Bálint, (Eger)
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét \(\displaystyle t\). Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű, két befogója \(\displaystyle 6\) és \(\displaystyle 8\), ezért területe: \(\displaystyle \displaystyle{t=\frac{6\cdot8}{2}=24}\). A \(\displaystyle P'U'R'Q'T'S'\) hatszög területét úgy kapjuk meg, hogy kiszámoljuk és összeadjuk az alábbi háromszögek és négyszögek területét:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle T_{P'U'R'Q'T'S'}=T_{ABC}+T_{BP'U'}+T_{CR'Q'}+T_{AT'S'}+T_{BU'R'C}+T_{CQ'T'A}+T_{AS'P'B}. \) |
A \(\displaystyle BP'U'\) és a \(\displaystyle BPU\) háromszögben két-két oldal és az általuk bezárt szög megegyezik, ezért \(\displaystyle BPU\triangle \cong BP'U' \triangle,\) így
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T_{BPU}=T_{BP'U'}. \) |
Ugyanezért \(\displaystyle CR'Q'\triangle \cong CRQ \triangle\) és \(\displaystyle AT'S'\triangle \cong ATS \triangle\), és \(\displaystyle T_{CRQ}=T_{CR'Q'}\) és \(\displaystyle T_{ATS}=T_{AT'S'}\). Az alábbiakban azt fogjuk többször kihasználni, hogy ha két háromszögre teljesül, hogy egy-egy alapjuk ugyanazon az egyenesen van, és az ehhez tartozó magasságuk közös, akkor területük aránya az alapok arányával egyenlő. Például a \(\displaystyle BPU\) és a \(\displaystyle BCU\) háromszög \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle PC\) oldala egy egyenesen van, arányuk \(\displaystyle 1:3\), az ezekhez tartozó, vagyis az \(\displaystyle U\)-ból induló magasságuk közös, ezért
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle T_{BPU}=\frac{1}{3} T_{BCU}=T_{BP'U'}. \) |
Ugyanígy felírhatjuk az összefüggést a \(\displaystyle BCU\) és az \(\displaystyle ABC\) területe közt annak alapján, hogy az \(\displaystyle U\) felezi az \(\displaystyle AB\) oldalt:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle T_{BCU}=\frac{1}{2}t. \) |
A (2), a (3) és a (4) alapján tehát
\(\displaystyle T_{BP'U'}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot t=\frac{1}{6}t.\)
Hasonlóképp igaz, hogy
\(\displaystyle T_{CR'Q'}=\frac{1}{6}t \hspace{1cm} \text{és} \hspace{1cm} T_{AT'S'}=\frac{1}{6}t.\)
Az (1)-ből tehát az első négy tagot már megkaptuk. A további három tag három négyszög területe, ezek mindegykét vágjuk két-két háromszögre az \(\displaystyle U'C\), a \(\displaystyle Q'A\) és az \(\displaystyle S'B\) szakaszok mentén. Ekkor igazak a következő összefüggések:
| \(\displaystyle (5) \) | \(\displaystyle T_{CBU'}=3\cdot T_{BP'U'}=3\cdot \frac{t}{6}=\frac{t}{2} \hspace{0.5cm}\text{(közös magasság és \(\displaystyle BC=3BP'\) alapján),}\) |
\(\displaystyle \text{továbbá} \hspace{0.5cm} T_{CAU'}=t+T_{CBU'}=t+\frac{t}{2}=\frac{3}{2}t, \hspace{0.5cm} \text{valamint}\)
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle T_{R'CU'}=\frac{1}{3}\cdot T_{CAU'}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}t=\frac{t}{2} \hspace{0.5cm} \text{(közös magasság és \(\displaystyle R'C=\frac{1}{3}CA\) alapján)}. \) |
(5) és (6) alapján pedig:
\(\displaystyle T_{BU'R'C}=T_{CBU'}+T_{R'CU'}=\frac{t}{2}+\frac{t}{2}=t. \)
A maradék két tag is felírható ugyanilyen megfontolások alapján:
\(\displaystyle T_{CQ'T'A}=T_{CQ'A}+T_{Q'T'A}=3 T_{CR'Q'}+\frac{1}{3}T_{BQ'T'}=3\cdot \frac{t}{6}+\frac{1}{3}\big(t+T_{CQ'A}\big)=\frac{t}{2}+\frac{1}{3}\big(t+\frac{t}{2}\big)=\frac{t}{2}+\frac{t}{2}=t.\)
\(\displaystyle T_{AS'P'B}=T_{AS'B}+T_{BS'P'}=3 T_{AT'S}+\frac{1}{3}T_{CS'B}=3\cdot \frac{t}{6}+\frac{1}{3}\big(t+T_{AS'B}\big)=\frac{t}{2}+\frac{1}{3}\big(t+\frac{t}{2}\big)=\frac{t}{2}+\frac{t}{2}=t.\)
Így felírható a keresett terület:
\(\displaystyle T_{P'U'R'Q'T'S'}=t+3\cdot\frac{t}{6}+3t=\frac{9}{2}t=\frac{9}{2}\cdot 24=108.\)
Statistics:
71 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Danka Emma, Domján István, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Hajnal Ákos Huba, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kun Petra, Magyar Levente Árpád, Máté Kristóf, Mikó Hédi Irma, Mizsei Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Németh Ábel, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Sipos Márton, Szabó András, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tamás Attila Gábor, Tóth 207 Bence, Válek Péter, Viczián Adél. 4 points: Hollósi Dominik, Juhász Zsombor, Kővágó Edit Gréta, Kulcsár Anna Zita, Li Mingdao, Tóth Luca. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 5 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 11 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024