A K/C. 823. feladat (2024. szeptember)

K/C. 823. Egy konvex \(\displaystyle 2024\)-szög minden oldalegyenesét az adott oldalegyenesre merőleges irányban \(\displaystyle 4\) egységgel eltoljuk kifelé. Így kapunk egy újabb konvex \(\displaystyle 2024\)-szöget. Mutassuk meg, hogy a kapott konvex \(\displaystyle 2024\)-szög kerülete legalább \(\displaystyle 25\) egységnyivel nagyobb, mint az eredeti sokszögé.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A két sokszög közötti részbe olyan téglalapokat tudunk rajzolni, melyek egyik oldala 4 cm, másik oldala pedig az eredeti konvex sokszög egy-egy oldalával egyezik meg. Ha ezeket a téglalapokat kivágjuk, akkor a maradék alakzatok összetolhatók egy olyan konvex sokszöggé, melybe 4 egységnyi sugarú kör írható. Ezen konvex sokszög kerülete adja a két 2024-szög kerülete közti különbséget. Mivel az összetolással kapott négyszögbe 4 egységnyi sugarú kör írható, azért a kerülete legalább akkora, mint a kör kerülete. Mivel a kör kerülete \(\displaystyle 8\pi > 25\), ezért a kapott 2024-szög kerülete legalább 25 egységnyivel nagyobb, mint az eredetié.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Abonyi Donát Tibor, Bara Boglárka , Bloemsma Péter Sándor, Bodó Rókus Dániel, Danka Emma, Fehér Ádám, Fülöp Magdaléna, Győrffy Csanád, Hajnal Ákos Huba, Halász Tamás, Harangozó Gergő, Hollósi Dominik, Jancsurák Flóra, Kallós Klára, Kovács 444 Kamilla, Kun Milán, Kun Zsófia, Laczó Zoltán, Li Mingdao, Lovas Márk, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Maróti Olga, Mátyás Levente, Molnár Levente, Molnár-Sáska Tamás, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Pázmándi Renáta , Péter Tamás, Rózsa Péter, Szabó Máté, Tóth Luca.
4 pontot kapott:	38 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai