 |
A K/C. 827. feladat (2024. október) |
K/C. 827. Egy hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\). Mutassuk meg, hogy bármelyik két szomszédos oldal összege megegyezik a szemben fekvő szomszédos oldalak hosszának összegével.
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel a hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\), ezért a szemközti oldalai párhuzamosak.
Jelölje a hatszög csúcsait \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) az ábrán látható módon.
Az \(\displaystyle ED\) és a \(\displaystyle BC\) félegyenesek metszéspontját jelölje \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle EF\) és \(\displaystyle BA\) félegyenesekét \(\displaystyle Q\). Mivel az \(\displaystyle EQBP\) négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, így az paralelogramma, tehát a szemközti oldalai egyenlőek. Például \(\displaystyle QB=PE\), vagyis
| \(\displaystyle {(1)}\) | \(\displaystyle QA+AB=PD+DE. \) |
Mivel az \(\displaystyle FQA\) és \(\displaystyle CPD\) háromszögek minden szöge 60°, ezért ezek szabályos háromszögek. Következésképp az egyes háromszögekben minden oldal egyenlő, például \(\displaystyle QA=AF\) és \(\displaystyle CD=PD\). E két egyenlőség és (1) alapján \(\displaystyle FA+AB\)=\(\displaystyle CD+DE\), vagyis erre a négy oldalra teljesül a feladat állítása. Mivel ez a gondolatmenet bármely 2-2 szemben fekvő oldalra érvényes, így a feladat állítása igaz.
Statisztika:
A K/C. 827. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai